ارشددانلود –121- دانلود نمونه مقاله

در سال 1963 گلمن و زوئینگ از دانشگاه کالیفرنیا دریافتند که هادرون‌ها را می توان متشکل از اجزای ریزتری دانست که گلمن آن‌ها را کوارک نامید [7، 8]. تا کنون شش طعم کوارکی شناسایی شده‌اند. البته ذکر این نکته ضروری است که برای هر کوارک، پاد ذره‌ی مربوط به آن نیز وجود دارد. هادرون‌ها دو دسته هستند:
باریون‌ها که متشکل از 3 کوارک هستند.
مزون‌ها که متشکل از یک کوارک و یک آنتی‌کوارک هستند.
کوارک‌ها فرمیون هستند و دارای اسپین‌های نیم‌صحیح می‌باشند. خصوصیات جالب کوارک‌ها این است که بار الکتریکی شان کسری است. همچنین کوارک‌ها دارای عدد کوانتومی جدیدی به نام رنگ هستند که این عدد برای برقراری اصل طرد پائولی در بعضی از هادرون‌ها در نظر گرفته می‌شود. به هر کوارک سه رنگ سبز، قرمز و آبی نسبت می‌دهند که ترکیب این سه یک ذره‌‌ی بدون رنگ را تشکیل می‌دهد. کوارک‌ها به هادرون‌ها مقیدند و تا به حال کوارک آزاد مشاهده نشده است. خصوصیات شش کوارک شناخته شده تا به کنون را می‌توانید در جدول 1-1 مشاهده کنید. کوارک ها دو حالت اسپینی و سه حالت رنگ دارند، از اینرو عدد تبهگنی 6 دارند[9، 10، 11، 12].
جدول 1-1: برخی از خصوصیات مهم کوارک‌های شناخته شده
نام کوارک بار الکتریکی عدد باریونی (GeVc2) جرم
down(d)3/1 - 3/1 005/0
up(u)3/2 + 3/1 01/0
strange(s)3/1 - 3/1 15/0
charm(c)3/2 + 3/1 5/1
bottom(b)3/1 - 3/1 7/4
top(t)3/2 + 3/1 180
1-3-2 ماده ی کوارکی
با اینکه تا به حال کوارک آزاد مشاهده نشده است، طبق نظریه‌ی QCD کوارک ها در چگالی های بالا وقتی خیلی به هم نزدیک می‌شوند به طور ضعیف با هم برهمکنش می‌کنند و آزاد می‌باشند که به این رفتار آزادی مجانبی می‌گویند.
اگر شعاع یک هادرون معمولی مانند پروتون را که fm 1 است در نظر بگیریم پیش‌بینی می شود که در چگالی حدودρH=143πrH3=0.24fm-3 هادرون‌ها یکدیگر را لمس می‌کنند و در چگالی‌های به اندازه‌ی کافی بالا مرزهای هادرونی شکسته می‌شود. در ستاره‌های نوترونی، هادرون‌های پروتون و نوترون وجود دارد. می‌دانیم که پروتون از دو کوارک بالا ( u ) و یک کوارک پایین ( d ) تشکیل شده است و نوترون نیز از یک کوارک u و دو کوارک d تشکیل شده است.
در واپاشی بتازای منفی یک کوارک پایین به یک کوارک بالا تبدیل می‌شود، همراه با انتشار یک بوزون و این بوزون متعاقباً به یک الکترون و آنتی نوترینو تبدیل می‌شود. واپاشی بتازای منفی در هسته‌هایی رخ می‌دهد که زیادی نوترون دارند و گرمای تولید شده از این واکنش به دو قسمت تقسیم می‌شود. قسمتی از آن تبدیل به انرژی جنبشی می‌شود و بقیه‌ی آن توسط ذره‌ی آنتی نوترینو حمل می‌شود. در ستاره‌های نوترونی نیز جایی که چگالی طوری باشد که کوارک‌ها بتوانند درجه‌ی آزادی سیستم را تشکیل بدهند و دیگر مقید نباشند، این برهم‌کنش ها اتفاق می‌افتد و کوارک‌های u و d که آزاد شده اند می‌توانند یک برهم‌کنش ضعیف به یکدیگر و سایر کوارک‌ها تبدیل شوند. این تبدیل طوری صورت می‌گیرد که انرژی فرمی کمتری حاصل شود، یعنی ذرات سبک می‌توانند در این تبدیل شرکت کنند. چون ذرات سبک‌تر در چگالی پایین تری نسبیتی می شوند، بنابراین راحت تر از ذرات سنگین نسبیتی می شوند. به همین دلیل کوارک های u ، d و s که از بقیه سبک ترند درون ماده‌ی کوارکی وجود دارند و مقداری الکترون که برای خنثایی بار در نظر گرفته می‌شود. انواع دیگر کوارک‌ها به دلیل جرم زیاد، نمی‌توانند در ماده‌ی کوارکی وجود داشته باشند. به عنوان مثال کوارک c برای تشکیل نیاز به چگالی حدود 1017grcm3 دارد که حدود 100 برابر چگالی موجود در هسته ستاره‌ی کوارکی است. بنابراین ماده‌ی کوارکی یک گاز فرمی نسبیتی است (به علت چگالی بسیار بالا) که شامل سه کوارک ذکر شده می‌باشد. یعنی ما با ماده‌ای سروکار داریم که تنها از کوارک های u ، d و s و مقداری الکترون که برای خنثایی بار در نظر گرفته می شود تشکیل شده است. البته کسر الکترون‌ها آنقدر کوچک است که در محاسبات از آن ها صرف نظر می‌شود.
انتظار می‌رود که چنین سیستمی به دو صورت وجود داشته باشد:
الف) ماده‌ی کوارکی که به تنهایی پایدار نیست و توسط ماده‌ی هادرونی احاطه شده است. هسته‌ی ستاره‌ی نوترونی، جایی که چگالی بسیار بالا می‌باشد یکی از بهترین کاندیداهای ماده‌ی کوارکی در جهان است که توسط محققان زیادی بررسی شده است. به ستارگانی که در آن ها هسته‌ی کوارکی به وسیله‌ی ماده‌ی هادرونی پوشیده شده است، ستاره‌ی هیبریدی گفته می‌شود.
ب) ماده‌ی کوارکی که به تنهایی پایدار است. ستاره‌ی کوارکی نمونه‌ای از این مورد می‌باشند که یک سیستم مجزا بدون هیچ ماده‌ی هادرونی هستند.
1-3-3 ستاره های کوارکی
اختر فیزیکدانان با مشاهدات فیزیکی خود، بر آن باورند که ستاره‌هایی چگال‌تر از ستاره‌های نوترونی وجود دارند، یعنی ستاره‌هایی ساخته شده از ماده‌ای چگال‌تر از ماده‌ی هسته‌ای. می‌دانیم هسته‌ی یک ستاره‌ی نوترونی از ماده‌ی هسته‌ای (nuclear matter) تشکیل شده است [13]. ماده‌ی هسته‌ای متشکل از پروتون‌ها، نوترون ها، الکترون‌ها ( برای تضمین خنثایی بار الکتریکی) و دیگر ذرات مثل پایون ها، مزون ها و غیره است [13]. مشخص شده است که ماده‌ی هسته‌ای شبه پایدار است و با تبدیل شدن به ماده‌ی کوارکی شگفتی (strange quark matter) مقدار زیادی انرژی آزاد می‌کند و به پایداری می‌رسد. این ماده‌ی کوارکی شگفتی پایدارترین حالت ماده است که تا کنون شناخته شده است. تبدیل ماده‌ی هسته‌ای به ماده‌ی کوارکی فقط در هسته‌ی ستاره‌‌های نوترونی رخ می‌دهد. به بیان دیگر می‌توان گفت تنها مکانی که چگالی به حد کافی برای تولید ماده‌ی‌کوارکی وجود دارد هسته‌ی ستاره‌های نوترونی است.
بنابراین یک طبقه‌ی جدید از ستارگان فشرده (compact stars) که از رمبش ستاره‌های نوترونی به وجود می‌آیند و پایدار‌تر از ستاره‌های نوترونی هستند وجود دارند [14]. بهترین کاندید برای چنین تبدیلی ستاره‌های نوترونی با جرم 5/1 تا 8/1 جرم خورشید و با اسپین سریع می‌باشند. البته ستاره‌های نوترونی با این جرم و حالت اسپینی یک درصد ستاره‌های نوترونی شناخته شده را تشکیل می‌دهند، اما تحقیقات نشان می‌دهند که روزانه دوعدد از این تبدیلات در کهکشان راه شیری اتفاق می‌افتد و بنابراین تعداد زیادی ستاره‌های کوارکی در جهان وجود دارد. عاملی که باعث جلوگیری از رمبش ستاره‌های کوارکی می‌شود، فشار تبهگنی کوارک‌ها می‌باشد که با فشار گرانشی به تعادل می‌رسد.
رمبش ستاره‌های نوترونی ممکن است منجر به تولید ستاره‌های کوارکی و یا ستاره‌های هیبریدی شود. همچنین تحت شرایط خاصی، هسته‌ی رمبنده از انفجار ابرنواختر نوع II می‌تواند مستقیماً به ستاره‌ی کوارکی تبدیل شود.
1-3-3-1 ستاره‌ی کوارکی خالص
وجود ستاره‌های کوارکی متشکل از ماده‌ی کوارکی، برای اولین بار توسط ایتو (Itoh) حتی پیش از اینکه نظریه‌ی QCD به طور کامل ارائه شود مطرح شد[9].
ستاره‌ی کوارکی از مرکز تا سطح خود از ماده‌ی کوارکی تشکیل شده است و تنها ممکن است یک لایه‌ی ماده‌ی هسته‌ای روی سطح آن وجود داشته باشد. این پوسته‌ی هسته‌ای به وسیله‌ی یک لایه از دوقطبی‌های الکتریکی ونیروی جانب به مرکز به هسته‌ی کوارکی چسبیده‌اند.
به تعبیر دیگر می‌توان گفت اگر بعد از انفجار ابرنواختری نوع II و درست چند دقیقه قبل از تولد ستاره‌ی نوترونی یعنی در مرحله‌ی proto-neutron چگالی و دما به اندازه‌ی کافی (grcm3 1015 و T= 30 MeV) بالا باشد، قبل از اینکه الکترون و پروتون در فرایند نابودی بتا شرکت کنند، پروتون‌ها و نوترون‌ها تحت فشار و دمای بالا به اجزای تشکیل دهنده‌ی خود یعنی کوارک‌ها تجزیه می‌شوند و یک ستاره‌ی کوارکی خالص مستقیماً متولد می‌شود. به این رخداد Quark-Nove گویند. یک داده‌ی مشاهداتی از این نوع ستاره‌ها نشان می‌دهد که جرم آن‌ها بیش از 2.1 ±0.28 Msunوشعاعی در حدود 13.8 ±1.8 kmمی‌باشد [15]. نمونه دیگری از مشاهده‌ی ستاره‌ی کوارکی RX 185635 –3754 و 3C58 می‌باشد [16].
1-3-3-2 ستاره های هیبرید با قلب کوارکی
پس از تولد ستاره‌ی نوترونی، اگر چگالی در هسته‌ی ستاره به اندازه‌ی کافی(grcm3 1015) بالا باشد، فشار روی باریون‌ها چنان زیاد می‌شود که به اجزای تشکیل دهنده‌ی خود یعنی کوارک ها تجزیه می‌شوند. در این حالت امکان دارد پوسته‌ای نازک از باریون‌ها اطراف قلب کوارکی را فرا گرفته باشد. به این ستاره‌ی فشرده، ستاره‌ی هیبرید با قلب کوارکی گویند. در حقیقت ستاره‌های هیبرید در اثر رمبش جزئی ستاره‌های نوترونی حاصل می‌شوند و تنها قسمتی از آن‌ها به ستاره‌ی کوارکی تبدیل شده است. محاسبات مربوط به جرم و شعاع این ستاره قبلاً انجام شده است [17، 18].
جرم و چگالی ستاره‌های کوارکی بین جرم و چگالی ستاره‌های نوترونی و سیاه‌چاله‌ها قرار دارد. برای ستاره‌های کوارکی M ∝ R3 می‌باشد که کاملاً با رابطه‌ی جرم-شعاع ستاره‌های نوترونی متفاوت می‌باشد. برخلاف ستاره‌های نوترونی که رابطه‌ی جرم-شعاع آن‌ها از شعاع‌های خیلی بزرگ شروع می‌شود، در مورد ستاره‌های کوارکی این رابطه از مبدأ شروع می‌شود. این ستاره‌ها جرم مینیمم ندارند. برای ستاره‌های کوارکی با 1Ms≤M ≤2Ms، شعاع حدود 10 km است (این حالت مشابه ستاره‌های نوترونی است) [19]. یک ستاره کوارکی دارای یک مرز مشخص است و با رفتن از مرکز ستاره به سطح آن، چگالی از حدود 4×1011-10×1011grcm3 به صفر افت می کند [2]. ستاره های کوارکی به طور موثر با انتشار نوترینو سرد می شوند.
1-4 میدان مغناطیسی ستارگان فشرده
یکی از مشخصه‌های بسیار مهم ستاره‌های فشرده (compact stars) میدان مغناطیسی آن‌ها می‌باشد.
میدان‌های مغناطیسی ستارگان فشرده می‌تواند منجر به رفتار‌های پیچیده شود. میدان‌های مغناطیسی در نتیجه‌ی پایداری شار مغناطیسی ستارگان به وجود می‌آید. ستاره‌های پرجرم که قابلیت تشکیل ستاره‌های فشرده دارند، دارای میدان مغناطیسی قابل توجهی هستند، که البته این میدان‌ها در مقایسه با میدان مغناطیسی اجرام فشرده ضعیف‌تر می‌باشند. هنگام تشکیل ستاره‌های فشرده، در نتیجه‌ی کاهش شعاع از مرتبه‌ی 106، میدان مغناطیسی تا مرتبه‌ی G 1012 افزایش می یابد[20]. همان‌طور که مشاهدات اخترفیریکی نشان می‌دهند، ستاره‌های فشرده از جمله ستاره‌های نوترونی، پالسارها، مگنتارها، و ستاره‌های کوارکی میدان‌های مغناطیسی قوی دارند که به طور نوعی میدان‌هایی در حدود1015G تا 1019G می‌باشند [21]. البته منشأ این میدان مغناطیسی هنوز برای اخترفیزیکدانان مسئله‌ی کاملاً حل شده‌ای نیست. بنابراین مطالعه‌ی اثرمیدان مغناطیسی قوی روی اجرام فشرده، از جمله ستاره‌ی کوارکی می‌تواند بسیار مورد توجه قرار گیرد. تا کنون، ستاره ی کوارکی پلاریزه در دمای صفر [22] و در حضور میدان مغناطیسی قوی [23] ، ستاره ی کوارکی در دمای معین [24] ، ستاره‌ی کوارکی پلاریزه در دمای صفر و در حضور میدان مغناطسیس قوی با استفاده از مدل کیسه‌ای (B وابسته به چگالی ) [25] و ستاره‌ی کوارکی پلاریزه در دمای معین و در حضور میدان مغناطسیس قوی با استفاده از مدل کیسه‌ای MIT ( B ثابت ) مورد بررسی قرار گرفته اند [26].
در اینجا ما اثر وابستگی به چگالی در ثابت کیسه را نیز در کار اخیر وارد می‌کنیم و مطالعاتمان را روی اثر وابستگی به چگالی در ثابت کیسه روی خصوصیات ساختاری ستاره‌ی کوارکی داغ در حضور میدان مغناطیسی قوی متمرکز نموده‌ایم. ستاره‌ی کوارکی را متشکل از ماده‌ی کوارکی متشکل از کوارک های u ، d و s با اسپین‌های بالا و پایین در نظر می‌گیریم و سپس با استفاده از معادلات تولمن-اوپنهایمر-وولکوف به محاسبه‌ی ساختار این ستاره می‌پردازیم.
تا اینجا مقدمه‌ای کوتاه از ستاره‌های کوارکی مطرح کردیم. در فصول بعد به خصوصیات ترمودینامیکی ستاره‌ی کوارکی پلاریزه در دمای معین و در حضور میدان مغناطیسی می‌پردازیم، و نهایتاً ساختار ستاره را در حضور و غیاب میدان مغناطیسی مقایسه می‌کنیم.
فصل2
محاسبه‌ی خصوصیات ترمودینامیکی ماده‌ی پلاریزه قطبیده با ثابت کیسه وابسته به چگالی
مقدمه
در این فصل روش محاسباتی خود را معرفی می‌کنیم و سپس به کمک این روش محاسباتی، به محاسبه‌ی انرژی و معادله‌ی حالت ماده‌ی کوارکی پلاریزه در دمای معین و در حضور میدان مغناطیسی می‌پردازیم.
روش انجام محاسبات
بهترین و مناسب ترین مدلی که تا کنون برای بررسی ماده‌ی کوارکی بکار گرفته شده است، مدل کیسه‌ای MIT است [27، 28، 29، 30]. البته مدل‌های آماری مختلفی تا کنون برای بدست آوردن معادله‌ی حالت مطرح شده‌اند که همگی از QCD نشئت گرفته‌اند. برای مثال مدل NJL [31، 32، 33، 34]، مدل اختلال QCD [13، 35، 36]، که هر یک نقطه ضعفی دارند. با نگاهی گذرا به ضعف هر یک پی می‌بریم.
مدل کیسه‌ای MIT ماده‌ی کوارکی را در کیسه‌ای محدود با فشار کیسه Bbag در نظر می‌گیرد و بنابراین به طور آشکارا گاز فرمی آزاد را نقض می‌کند و در محدوده‌ی کوارک‌های سبک سازگاری دارد.
مدل NJL برهمکنش کوارک‌ها را مانند پیون‌ها در نظر می‌گیرد و بنابراین این مدل نمی‌تواند پیوسته در محدوده‌ی کوارک‌ها باشد. این مدل می‌تواند شکستن تقارن کایرال دینامیکی از QCD را توصیف کند. مدل QCD نیز در محدوده‌ی انرژی‌های بالاست و با پیچیدگی‌هایی همراه است. پس در شرایط مورد نظر ما (‌که ماده‌ی کوارکی را متشکل از کوارک‌های سبک در نظر می‌گیریم‌) بهترین مدل، همان مدل کیسه‌ای MIT می‌باشدکه در آن کوارک‌ها به عنوان گاز فرمی آزاد درون کیسه‌ای به فشار Bbag در نظر گرفته می‌شوند و انرژی واحد حجم برای ماده‌ی کوارکی εtot ، انرژی کوارک‌های آزاد به اضافه‌ی ثابت کیسه (Bbag) می‌باشد. ثابت کیسه، اختلاف انرژی بین فضای اختلال یافته و فضای واقعی می‌باشد و از نظر دینامیکی مانند فشاری عمل می‌کند که گاز کوارکی را در چگالی و پتانسیل ثابت نگه می‌دارد.
در این فصل به تفصیل به این روش می‌پردازیم.
مدل کیسه ای MIT
مدل MIT یک توصیف پدیده شناختی مفید از کوارک‌های محدود شده درون هادرون‌ها را فراهم می‌کند. در این مدل کوارک‌هایی که خارج از کیسه‌ی هادرونی بسیار بزرگ و پر جرم هستند درون هادرون‌ها مانند ذراتی بدون جرم درون کیسه‌ای با ابعاد متناهی رفتار می‌کنند. کوارک‌ها هنگامی به هم نزدیک می‌شوند که انرژی آن‌ها افزایش یافته باشد و طبق این نظریه ( آزادی مجانبی ) اندازه‌ی برهمکنش آن‌ها در این هنگام کاهش می‌یابد. به طور کلی در مورد کوارک‌ها با افزایش فاصله، برهمکنش‌ها افزایش می‌یابد و این می‌تواند دلیلی باشد بر ای آنکه کوارک‌ها هیچگاه به صورت آزاد در طبیعت یافت نمی‌شوند بلکه همیشه در نوکائون‌ها محبوس هستند.
محبوس بودن کوارک‌ها نتیجه‌ی تعادل فشار درون دیواره‌های کیسه با خارج است. فشار درون کیسه را با یک فشار به نام Bbag نشان می‌دهیم. این فشار به برهمکنش کوارک-کوارک بستگی دارد و در واقع اختلاف انرژی فضای اختلال یافته و فضای واقعی می‌باشد. دو حالت را برای ثابت کیسه در نظر می‌گیریم:
یک مقدار ثابت
مقداری وابسته به چگالی
در مدل‌های MIT اولیه، Bbag را یک مقدار ثابت از جمله 55MeVfm3 و 90MeVfm3 و مقادیری دیگر در نظر می‌گرفتند و محاسباتی نیز با این مقادیر صورت گرفته شده است و نتایجی ارائه شده است. اما اخیراً برای همخوانی با داده های آزمایشگاه سرن یک شکل وابسته به چگالی برای آن در نظر گرفته شده است که ما در اینجا از این شکل وابسته به چگالی استفاده خواهیم کرد.
ثابت کیسه وابسته به چگالی
در آزمایشگاه CERN بیمهایی از هسته‌ی سرب با انرژی‌های بالا را برخورد داده‌اند و گزارشی از تشکیل پلاسمای کوارک-گلئون داده‌اند، و بر اثر این نتایج یکBbag وابسته به چگالی نیز در نظر می‌گیرند که ما در اینجا از همین نتایج (Bbag وابسته به چگالی) استفاده می‌کنیم.
نتایج سرن به این صورت است که در طول مراحل اولیه، برخورد یون‌های سنگین باعث بوجود آمدن یک حالت چگال و خیلی داغ می‌شود. انرژی بوجود آمده به صورت کوارک‌ها و گلئون‌هایی‌ که به شدت برهمکنش می‌کنند تبدیل به ماده می‌شود که شکل انتظاری از کوارک‌های غیر مقید و گلوئون‌ها را نمایش می‌دهد. سپس پلاسما سرد و رقیق می‌شود، و در نقطه‌ای که انرژی در حدود 1.1GeVfm3 و دما در حدود170 MeV می‌باشد، کوارک‌ها و گلئون‌ها به هادرون‌ها تبدیل می‌شوند. این بسط به قدری سریع است که هیچ فاز مخلوطی از کوارک-هادرون انتظار نمی‌رود و هیچ برهمکنش ضعیفی نمی‌تواند نقش ایفا کند.
در مدل MIT اولیه پیش‌بینی می‌شود که اگر فاز هادرونی را به صورت یک گاز بدون برهمکنش شامل نوکلئون‌ها، پادنوکلئون‌ها و پایون‌ها در نظر بگیریم، فاز کوارک‌های آزاد در یک مقدار ثابت از چگالی انرژی، مستقل از شرایط ترمودینامیکی رخ می‌دهد. به همین دلیل رایج است که خط تبدیل بین فاز هادرونی و کوارکی را در یک مقدار ثابت چگالی انرژی رسم می‌کنند که معمولاً بین 0.5GeVfm3 تا 2GeVfm3 می‌باشد و مقدار 1.1GeVfm3 گزارش شده توسط سرن نیز می‌باشد [37، 38، 39].
یک رابطه گاوسی وابسته به چگالی برای Bbag در نظر می‌گیریم:
(2-1) Bn=B∞+B0-B∞e-β(nn0)2این رابطه به خوبی نشان می‌دهد که کوارک‌ها در فاصله‌های دورتر به هم بیش‌تر نیرو وارد می‌کنند، در فاصله‌ی نزدیک به هم (یعنی در چگالی‌های بالاتر) همانطور که رابطه نیز نشان می‌دهد انرژی پتانسیل کمتر می‌باشد.
Bbag را طوری پارامتربندی می‌کنیم که در چگالی انرژی 1.1GeVfm3 تبدیل فاز داشته باشیم، معادله‌ی هادرونی را ماده‌ی نوکلئونی نامتقارن با نسبت پروتون به چگالی کل 4/0 با پتانسیل UV14+TNI در نظر می‌گیریم و با ماده‌ی کوارکی شامل کوارک‌های u و d قطع می‌دهیم و B∞ را بدست می‌آوریم [40].
برای محاسبه‌ی B∞ از معادله‌ حالت ماده‌ی نوکلئونی نامتقارن استفاده می‌کنیم. برای محاسبه‌ی معادله حالت ماده نوکلئونی نامتقارن، از روش بس ذره‌ای LOCV که اساس آن بسط خوشه‌ای انرژی می‌باشد استفاده می‌کنیم [41].
ماده نوکلئونی نامتقارن توسط یک سیستم از Z پروتون (pt) و N نوترون (nt) با چگالی عددی کل n=npt+nnt و نسبت پروتون به چگالی کل، xpt=nptn که در آن npt و nnt به ترتیب چگالی‌های عددی پروتون‌ها و نوترون‌ها هستند تشکیل شده است. برای این سیستم یک تابع موج آزمایشی به صورت زیر در نظر می‌گیریم:
Ψ=FΦ (2-2)
که در آن Φ دترمینان اسلاتر تابع موج تک ذره‌ای و F عملگر همبستگی بین ذرات می‌باشدکه توسط برهمکنش، بین آنها القا می‌شود و به صورت زیر تعریف می‌شود:
F=Si>jf(ij)(2-3)
Sعملگر متقارن کننده می‌باشد.
برای ماده‌ی نوکلئونی نامتقارن، انرژی به ازای هر نوکلئون، یک ترم دو ذره‌ای در بسط خوشه‌ای انرژی است که به صورت زیر می‌باشد:
Ef=1A<ΨlHlΨ><ΨlΨ>=E1+E2(2-4)
E1انرژی تک ذره ای است:
E1=i=12kiћ2ki22m(2-5)
که در آن برچسب 1 و 2 به ترتیب برای پروتون و نوترون استفاده می‌شوند و ki، ممنتوم ذره‌ی i می‌باشد.E2، انرژی دو ذره‌ای می‌باشد:
E2=12Aij<ijlV12lij-ji>(2-6)
که در آن
V12=-ћ22mf12,∇122,f12+f12V12f(12)(2-7)
در معادله‌ی فوق f(12) و V(12) به ترتیب همبستگی و پتانسیل نوکلئون-نوکلئون دو ذره ای می باشند. انرژی دو ذره‌ای را با ملاحظه‌ی تغییرات توابع همبستگی با در نظر گرفتن شرط بهنجارش بهنجار می‌کنیم و به مجموعه معادلات دیفرانسیلی دست می‌یابیم و به وسیله‌ی حل عددی این معادلات دیفرانسیل، توابع همبستگی را محاسبه می‌کنیم. با استفاده از توابع همبستگی، انرژی دو ذره‌ای را بدست می‌آوریم و سپس انرژی ماده‌ی نوکلئونی نامتقارن را حساب می‌کنیم. بنابراین برای محاسبه‌ی B∞ با این فرض که انتقال فاز کوارک-هادرون در چگالی انرژی 1.1GeVfm3 اتفاق می‌افتد، چگالی باریونی ماده نوکلئونی nB (چگالی گذار) را پیدا می‌کنیم.
در ماده‌ی کوارکی با دو طعم، دیگر چگالی کوارک‌ها مساوی نیست بلکه اگر کسر ناچیز الکترون ها را در نظر نگیریم، با استفاده از شرط خنثایی بار و در نظر گرفتن عدد باریونی کوارک‌ها خواهیم داشت:
(2-8) 23nu-13nd=0(2-9) nB=13nu+ndاز روابط (2-8) و (2-9) نتیجه زیر را بدست می آوریم:
(2-10) nd=2nu=2nBدر نهایت
(2-11) εQ=34hcπ23nu43+nd43+Bbag
در معادله‌ی حالت ماده‌ی نوکلئونی که ما در نظر گرفته ایم، چگالی انرژی 1100MeVfm3 در چگالی nB=0.98fm-3 حاصل می‌شود. بنابراین ما B∞ را باید طوری حساب کنیم که چگالی انرژی ماده‌ی کوارکی نیز در این چگالی 1100MeVfm3 شود.
برای B0 مقدارهای 200 و 400 MeVfm3 را در نظر می‌گیریم که نتیجه به مقدار B0 حساس نمی‌باشد. β پارامتر عددی می‌باشد که مساوی 0.17 و برابر با n0 چگالی ماده‌ی هسته‌ای اشباع می‌باشد. از روابط (2-10) و (2-11) نتیجه می شود:
(2-12) nB=0/98fm-3 →nu=0/98fm-3nd=1/96fm-3→B=10/37برای B0=400 MeVfm3 مقدار8.99MeVfm3 و برایB0=200MeVfm3 مقدار 7.9MeVfm3 را برای B∞ بدست می‌آوریم. اکنون با استفاده از این Bbag می‌توان انرژی واحد حجم را برای ماده‌ی کوارکی محاسبه کرد.
انرژی و معادله ی حالت ماده ی کوارکی پلاریزه در دمای معین و در حضور میدان مغناطیسی
برای محاسبه‌ی انرژی ماده‌ی کوارکی در دمای معین نیاز داریم که چگالی کوارک‌ها و الکترون‌ها را بر حسب چگالی باریونی بدانیم. این کار را با در نظر گرفتن دو شرط تعادل بتا و خنثایی بار انجام می دهیم. بنابراین برای محاسبه‌ی چگالی کوارک‌ها در ماده‌ی کوارکی ابتدا تعادل β را بررسی می‌کنیم.
محاسبه‌ی چگالی کوارک‌ها در ماده‌ی کوارکی
کوارک‌ها با برهمکنش ضعیفی به یکدیگر تبدیل می‌شوند. همانطور که می‌دانیم نوترون طی یک واپاشی بتازا به پروتون و یک ذره‌ی بتا متلاشی می‌شود:
(2-13) n→p+e-+ϑe- چون سیستم مورد نظر به حالت تعادل شیمیایی رسیده است، پس واکنش بتازا در جهت عکس نیز میتواند رخ دهد و همانطور که می دانیم سرعت این دو واکنش یکسان یکسان است. پس واکنش عکس بتازا نیز به شکل زیر برقرار است:
(2-14) e-+p→n+ϑeنوترون از یک کوارک u و دو کوارک d ((n≡udd و پروتون از دو کوارک u و یک کوارک d p≡uud)) تشکیل شده اند، پس واکنش بتازا در سطح کوارکی متشکل از کوارک‌های زیر است:
(2-15) u→u d→d d→u+e-+ϑe-
برای u و d واکنش‌های زیر را داریم:
(2-16) s→u+e-+ϑe- (2-17) u+e-→s+ϑe(2-18) s+u→d+uبرای اینکه واکنش ضعیف (2-14) تعادل شیمیایی داشته باشد، نباید هیچ انرژی در جهت مخالف به سیستم وارد شود، یعنی باید دو طرف واکنش دارای پتانسیل شیمیایی یکسانی باشند، پس داریم:
(2-19) μe+μp=μnنوترینوها پس از تشکیل به سرعت از سیستم فرار می کنند، بنابراین از آن ها صرفنظر می کنیم و پتانسیل‌های شیمیایی آن ها را صفر در نظر می گیریم (μϑ=0)
با استفاده از واکنش (2-14) خواهیم داشت:
(2-20) μe+μp=μdاز واکنش (2-15) خواهیم داشت:
(2-21) μs=μu+μeوبا استفاده از روابط (2-20) و (2-21) داریم:
(2-22) μs=μdبا توجه به رابطه‌ی مربوط به محاسبه‌ی چگالی عددی برای فرمیون ها در دمای معین، که در بخش بعد خواهیم دید، چگالی عددی کوارک‌های s وd با توجه به رابطه (2-22) مشخص باشند.
حال تنها چگالی کوارک u برای ما مجهول است، که با وجود شرط خنثایی بار خواهیم داشت:
(2-23) 23nu-13ns-13nd-ne=0 چگالی ni چگالی ذره‌ی i می‌باشد. ما سیستم را به صورت ماده‌ی کوارکی خالص در نظر می‌گیریم (ne=0) [42]. با توجه به این مسئله داریم:
(2-24) nu=12ns+ndبنابر روابط (2-22) و (2-24) چگالی کوارک u نیز مشخص خواهد شد.
پس از محاسبه‌ی چگالی کوارک‌ها با توجه به عدد باریونی کوارک‌ها، چگالی باریونی سیستم به صورت زیر قابل محاسبه خواهد بود:
(2-25) nB=13nu+nd+nsمحاسبه‌ی چگالی انرژی و معادله‌ی ماده کوارکی پلاریزه در حضور میدان مغناطیسی
در اینجا می‌خواهیم به محاسبه‌ی انرژی و معادله‌ی حالت ماده‌ی کوارکی پلاریزه بپردازیم و در این مسیر از روش کیسه‌ای MIT بهره می‌گیریم. قبل از بیان معادلات مربوط به محاسبات، ماده‌ی کوارکی پلاریزه را بررسی می‌کنیم.
هنگامیکه ماده‌ی کوارکی در میدان مغناطیسی قرار می‌گیرند ذرات با اسپین‌های بالا در راستای میدان مغناطیسی جهت‌گیری می‌کنند. در کل کوارک‌ها دارای دو حالت اسپینی و سه حالت رنگی متفاوت هستند، بنابراین تبهگنی آن‌ها برابر 6 می باشد. اما در اینجا (در حضور میدان مغناطیسی) تبهگنی به عدد 3 کاهش می‌یابد، زیرا دیگر تبهگنی دو حالت اسپینی را نداریم.
ذرات با اسپین‌های بالا را با ni+ و ذرات با اسپین‌های پایین را با ni- نشان می‌دهیم ( ni چگالی ذره‌ی i باشد). با معرفی پارامتر قطبش ξ، خواهیم داشت:
(2-26) ξi=ni+-ni-niکه در این رابطه:
(2-27) ni=ni++ni-از روابط بالا می‌توان به رابطه ی زیر رسید:
(2-28) ni±=12ni1±ξi پارامتر قطبش در بازه‌ی 0≤ξi≤1 قرار دارد. عدد موج نیز به صورت زیر درمی‌آید:
(2-29) ki±=π2ni131+ξi13می دانیم در یک سیستم فرمیونی، دمای فرمیونی از رابطه‌ی زیر محاسبه می‌شود:
(2-30) Tf=ћ22mk6π223n23که دو حالت پیش می‌آید:

Related posts: