پژوهش user6-737

یکشنبه 7 آبان 1396 ساعت 18:08
HYPERLINK \l "_Toc417540439"شکل ‏42:نمودار تغییرات میدان به عنوان تابعی از ضخامت لایه دی الکتریک در ضخامت‌هایمختلف نانوپوسته فلز طلا در طول موج 800 نانومتر PAGEREF _Toc417540439 \h 54HYPERLINK \l "_Toc417540440"شکل ‏43: نمودار تغییرات میدان به عنوان تابعی از ضخامت لایه […]

  

سایت دانلود پژوهش ها و منابع علمی

سایت دانلود پژوهش ها و منابع علمی دانشگاهی فنی تخصصی همه رشته ها – این سایت صرفا جهت کمک به گردآوری داده ها برای نگارش پژوهش های علمی و صرفه جویی در وقت پژوهشگران راه اندازی شده است

پژوهش user6-737

پژوهش user6-737

پژوهش user6-737

HYPERLINK \l "_Toc417540436"شکل ‏29: نمودار قسمت حقیقی تابع دی الکتریک نانوپوستهی نقره بر حسب طول
موج با احتساب اثر اندازه در ضخامت های متفاوت در محدودهnm800 تاnm950 PAGEREF _Toc417540436 \h 21
HYPERLINK \l "_Toc417540437"شکل ‏31: نانو ساختار چندلایه کروی شامل نقطه کوانتومی، نانوپوسته فلز نجیب و
جداکننده دی‌الکتریک PAGEREF _Toc417540437 \h 47
HYPERLINK \l "_Toc417540438"شکل ‏41 :نمودارتغییرات میدان الکتریکی بر حسب ضخامت لایه دی الکتریک در
ضخامتهای مختلف نانو پوسته مس درطول موج800 نانومتر PAGEREF _Toc417540438 \h 53
HYPERLINK \l "_Toc417540439"شکل ‏42:نمودار تغییرات میدان به عنوان تابعی از ضخامت لایه دی الکتریک در ضخامت‌های
مختلف نانوپوسته فلز طلا در طول موج 800 نانومتر PAGEREF _Toc417540439 \h 54
HYPERLINK \l "_Toc417540440"شکل ‏43: نمودار تغییرات میدان به عنوان تابعی از ضخامت لایه دی الکتریک در ضخامت
های مختلف نانوپوسته فلز نقره در طول موج 800 نانومتر PAGEREF _Toc417540440 \h 55
HYPERLINK \l "_Toc417540441"شکل ‏44: نمودار تغییرات میدان الکتریکی بر حسب ضخامت لایه دی الکتریک در
ضخامتهای مختلف نانو پوسته مس درطول موج950 نانومتر PAGEREF _Toc417540441 \h 56
HYPERLINK \l "_Toc417540442"شکل ‏45: نمودار تغییرات میدان الکتریکی به عنوان تابعی از ضخامت لایه دی الکتریک
در ضخامت های مختلف نانوپوسته فلز طلا در طول موج 950 نانو متر PAGEREF _Toc417540442 \h 57
HYPERLINK \l "_Toc417540443"شکل ‏46: نمودار تغییرات میدان به عنوان تابعی از ضخامت لایه دی الکتریک در
ضخامت های مختلف نانوپوسته فلز نقره در طول موج 950نانومتر PAGEREF _Toc417540443 \h 58
HYPERLINK \l "_Toc417540444"شکل ‏47 :تغییرات میدان الکتریکی به عنوان تابعی از گذردهی نسبی دی الکتریک
در ضخامت های مختلف نانو پوسته مس در طول موج 800نانومتر PAGEREF _Toc417540444 \h 59
HYPERLINK \l "_Toc417540445"شکل ‏48:تغییرات میدان الکتریکی به عنوان تابعی از گذر دهی نسبی دی الکتریک
در ضخامت های مختلف نانو پوسته طلا در طول موج nm 800 PAGEREF _Toc417540445 \h 60
HYPERLINK \l "_Toc417540446"شکل ‏49 :تغییرات میدان الکتریکی به عنوان تابعی از گذردهی نسبی دی الکتریک
در ضخامت های مختلف نانوپوسته نقره در طول موجnm 800 PAGEREF _Toc417540446 \h 61
HYPERLINK \l "_Toc417540447"شکل ‏410: تغییرات میدان الکتریکی به عنوان تابعی از گذردهی نسبی دی الکتریک
در ضخامت های مختلف نانوپوسته مس در طول موجnm 950 PAGEREF _Toc417540447 \h 62
HYPERLINK \l "_Toc417540448"شکل ‏411: تغییرات میدان الکتریکی به عنوان تابعی از گذردهی نسبی دی الکتریک
در ضخامت های مختلف نانوپوسته طلا در طول موجnm 950 PAGEREF _Toc417540448 \h 63
HYPERLINK \l "_Toc417540449"شکل ‏412: تغییرات میدان الکتریکی به عنوان تابعی از گذردهی نسبی دی الکتریک
در ضخامت های مختلف نانوپوسته نقره در طول موجnm 950 PAGEREF _Toc417540449 \h 63
HYPERLINK \l "_Toc417540450"شکل ‏413: مقایسه افزایش میدان الکتریکی بر حسب گذر دهی نسبی دی الکتریک برای
سه فلز نجیب در دو طول موج nm800 وnm 950 در ضخامت نانو پوسته
فلزی nm2 PAGEREF _Toc417540450 \h 64
HYPERLINK \l "_Toc417540451"شکل ‏414:تغییرات میدان الکتریکی درون نقطه کوانتومی برحسب شعاع نقطه کوانتومی
برای سه فلز نجیب با ضخامت nm2 در طول موج nm 800 و ضخامت لایه
دیالکتریک nm21 PAGEREF _Toc417540451 \h 66
HYPERLINK \l "_Toc417540452"شکل ‏51:نانو ساختار چندلایه کروی شامل نقطه کوانتومی ولایه متناوب دی‌الکتریک و
فلز PAGEREF _Toc417540452 \h 69

فصل اول مقدمهفصل اول

مقدمه
روش حل پراکندگی توسط یک کره از زمان‌های خیلی قبل وجود داشته است. در 1908، مای به منظور توضیح رنگ های متنوع در جذب و پراکندگی توسط ذرات کلوئیدی کوچک طلا معلق در آب، این تئوری را توسعه داد. کار دبای که موضوع پایان نامه دکترایش، به فشار تابشی بر ذرات کروی مربوط می‌شد. او به جای کار کردن مستقیم با مولفه‌های بردارهای میدان ؛ تابع پتانسیل مشتق شده از بردار هرتز را به کار برد،همان کاری که مای انجام داد[1].
مقاله مای )1908(تحت عنوان «ملاحظات اپتیکی در محیط های غیرشفاف، به خصوص ذرات طلای کلوئیدی» تنها بیانی از فرمول های پراکندگی نیست؛ بلکه به علت هر دو جنبه آزمایشگاهی و محاسباتی اهمیت داشته است[2]. محاسبه رنگ های تابان که از ذرات فلزی کلوئیدی پراکنده می‌شوند، توسط فارادی( 1857) مطالعه شد .[3]
کارهایی که در پراکندگی مای )1908( مرجع قرار گرفته بودند توسط افراد زیر ارائه شدند[1] :
تامسون (1893) در مورد کره های کاملاً بازتاب کننده،
ریلی در مورد کره های دی الکتریک کوچک
و لورنز (1898،1880 ) در مورد کره های جاذب کوچک.
هر چند این تئوری توسط چندین محقق قبل از مای کار شده بود و حتی تاریخچه آن به نیمه قرن نوزدهم بر می گردد . لوگان (1965-1962) یک تاریخچه قابل ملاحظه را دنبال کرده است، کلبشدر 30 اکتبر 1861 مقاله‌ای تحت عنوان «درباره بازتاب روی یک سطح کروی‌» ارائه داد و در 1863 منتشر شد. یک سال قبل از اینکه تئوری الکترومغناطیس نور توسط ماکسول پیشنهاد شود. در این مقاله کلبش حل کلی برای معادله موج کشسان بر حسب تابع موج برداری به دست آورد، که توسط نویسنده های بعدی استفاده شد. هر دولورنز (1890،1898) و دبای (1909)کار کلبش را مرجع قرار دادند.
مسئله موج کشسان بسیار پیچیده تر از هر دو مسئله موج الکترومغناطیسی یا صوتی است. حل اخیر می توان از تجزیه تحلیل کلبش با قرار دادن سرعت انتشار امواج طولی به سمت بی نهایت به دست آورد برای کسب اطلاعات بیشتر می‌توان به کتاب پراکندگی نور کرکر (1969) مراجعه نمود[1].
نه مای و نه دبای هیچ کدام جز اولین کسانی نبودند که یک جواب برای مسئله کره به دست آورده بودند. تعیین اینکه دقیقاً چه کسی در این امر اولین بوده کار ساده ای نیست. هر چند لورنز یک مدعی قوی برای این افتخار است.
حل کره روکش شده توسط کرکر و ادن (1951) برای اولین بار انجام شد؛ که می توان آن را به کره چندلایه تعمیم داد [2].
در سال 1975 ، ایساکی و همکاران برای نخستین بار مفهوم سیمهای کوانتومی و نقاط کوانتومی را ارائه دادند[4] . در سال 1982، دو دانشمند روسی به نـامهای اکیموف و اوموشچنکو مشاهده اولین محدودیت کوانتومی را گزارش کردند [5]. پیشرفت منظم نقاط کوانتومی در علم و فن آوری پس از سال 1984 به دست آمد، زمانی که لوئیس بروس رابطه بین اندازه و گاف انرژی نانو ذرات نیمه هادی به دست آورد [6,7]. با این حال برای ساخت موفقیت آمیز نقاط کوانتومی کلوئیدی Cdx(x=S,Se,Te) توسط ماری و همکاران با اندازه قابل تنظیم زمانی نزدیک به یک دهه به طول انجامید [8].
با گسترش روز افزون علم نانو دریچه های جدیدی در دنیای علم گشوده شده است به گونه ای که توسعه این علم در دهه‌های اخیر امکان ساخت طیف جدیدی از ادوات را فراهم آورده است[9] . علم نانو با ورود به دنیای اپتیک امکان ساخت ادوات نوری متنوعی را فراهم آورده است. ساختارهای نانویی بازتابنده و جذب کننده نور با بازدهی بالا برای محدوده‌ی وسیعی از وسایل اپتو الکترونیک و سیستم های کاربردی به کار می رود. از سلول‌های خورشیدی و آشکارسازهای ساده گرفته تا بازتابنده های پیشرفته نور مبنی بر کاربرد هایش؛ شامل آن‌هایی که برپایه‌ی جذب چند فوتونی نور اند. از این دید گاه می‌توان به جذب دو فوتونی فلورسانس القایی به عنوان یک پدیده اپتیک غیر خطی قدرتمند اشاره کرد ؛ که برای کابردهای تصویربرداری زیستی به خصوص برای تصویربرداری از بافت های عمیق [10] و برای فوتو دینامیک درمانی [11] به کار می‌رود. در فوتو دینامیک درمانی فوتونی که توسط دو فوتون کم انرژی‌تر تولید شده برای تولید گونه های اکسیژن واکنش دار یاخته سمی در بافت سرطانی استفاده می شود. در مورد اخیر، متمرکز کردن اشعه نزدیک مادون قرمز در بافت سرطانی -که به نزدیک مادون قرمز نسبتاً شفاف است – می‌تواند در نفوذ بافت عمیق و به تبع آن تخریب انتخابی سلول های بدخیم از طریق جذب دو فوتونی فلورسانس القایی مؤثر-تولید ROS واداشته شده را نتیجه دهد[11]. با توجه به نانو ساختارها برای تصویر برداری زیستی بر مبنای TPAF یک نیاز بلند مدت به فلوئورفورهای TPAF غیرسمی در بالاترین درخشندگی قابل حصول وجود دارد. به دلیل مزایای متعدد نقاط کوانتومی بر دیگر فلوئورفورها ،از جمله: الف)طیف جذبی پهن و خصوصیات اختیاری نشر قابل تنظیم؛ ب)بازده کوانتومی بالا؛ ج)پایداری فوتوشیمیایی نسبتاً بالا و د)سطح مقطع جذب دو فوتونی نسبتاً بزرگ، نقطه های کوانتومی نیمه رسانا توجه زیادی را به عنوان نانو ذره TPAF به خود جلب کرده است [12]. نقاط کوانتومی نیمه‌هادی با تحریک الکتریکی توسط گستره‌ی وسیعی از طول موج‌ها در فرکانس‌های کاملاً مشخصی به فلورسانس می‌پردازند، ‌به این شکل که فرکانسی از نور را جذب کرده و در فرکانسی مشخص- که تابع اندازه آنهاست- به نشر نور می‌پردازند. نقطه های کوانتومی عمدتاً در کاربرد های اپتوالکترونیک مانند لیزر های نیمه هادی، آشکار سازهای نوری یا حافظه های نوری استفاده می‌شوند.
فصل دوم را با نقطه های کوانتومی شروع می‌کنیم. ابتدا نگاهی تاریخی به نقاط کوانتومی داریم وسپس از دید فیزیکی به آن می‌پردازیم. نقطه های کوانتومی نانو بلورهای نیمه رسانای با ابعاد بین 2 تا 10 نانومتر هستند که قطر فیزیکی آن‌ها از شعاع اکسیتون بوهر کوچکتر است. بنابراین شعاع اکسیتون و اثر تحدید کوانتومی و بررسی تغییر اندازه‌ی نقطه کوانتومی با تغییر در خواص اپتیکی را بیان می‌کنیم.
در این مسیر برای به کار بردن تابع دی الکتریک فلز نجیب، از مدل درود بهره می‌گیریم. ثابت‌های اپتیکی فلزات نجیب از زمان درود اندازه گیری شده‌اند. برای مقایسه با تئوری، تلاش مداومی برای افزایش دقت آزمایشگاهی صورت میگرفت. از نتایج اولیه دیده شد که تئوری الکترون آزاد درود در ناحیه مرئی و فرابنفش ناموفق بود. بعد از تئوری کوانتوم، تشخیص داده شده بود که جذب در ناحیه مرئی و فرابنفش، به علت گذار از نوار پر d به نوار رسانشsp بوده است. ذکر این نکته ضروری است که در این رساله تأثیر گذار درون نواری در ثابت دی الکتریک فلزات در نظر گرفته نشده است. زیرا این اثر در محدوده طول موج فرابنفش و مرئی اتفاق می‌افتد و محدوده طول موجی که اینجا بررسی می شود 800 تا 950 نانومتر است[13].
چون ضخامت فلز از مرز چند نانومتر تجاوز نمی‌کند اصلاح مدل درود به علت کاهش پویش آزاد میانگین الکترون ها را نیز بررسی می‌نماییم . هنگامی که مقیاس طول فلز قابل مقایسه یا کمتر از پویش آزاد میانگین الکترون ها باشد، در نتیجه حرکت الکترون های آزاد توسط مرزهای فیزیکی ساختار فلزی محدود می شود. و مسیر میانگین متوسط الکترون های آزاد کاهش می‌یابد. بنابر این مدل درود برای فلزات خیلی نازک باید اصلاح شود. در فصل دوم این اصلاح در مدل درود انجام می‌دهیم. با استفاده از نرم افزار متلب قسمت موهومی و حقیقی تابع دی الکتریک را برای مس، طلا و نقره رسم می‌نماییم.
در فصل سوم از معادلات ماکسول شروع کرده‌ و بسط یک موج تخت را بر حسب هماهنگ‌های کروی برداری می‌نویسیم. سپس تعامد هماهنگ‌های کروی را اثبات می‌کنیم و ضرایب بسط موج تخت تابشی را به‌دست می‌آوریم. با توجه به رابطه میدان مغناطیسی و الکتریکی و با توجه به خواص هماهنگ های کروی برداری و بسط میدان الکتریکی و مغناطیسی بر حسب این هماهنگها و شرایط مرزی؛ ما به یک دستگاه معادلاتی دوازده معادله و دوازده مجهول میرسیم با استفاده از نرم افزار متمتیکا به صورت تحلیلی این دستگاه معادلاتی را حل نموده و حال که ضرایب بسط به دست آمدند ما میدان الکترومغناطیسی را در هر موقعیتی داریم و می‌توانیم میدان الکتریکی در هر موقعیتی را نسبت به میدان تابشی اولیه به‌دست آوریم. هر چه افزایش میدان الکتریکی بیشتر باشد اثر فوتودینامیک درمانی و تصویربرداری از بافت‌های سرطانی بهتر انجام میگیرد.
در فصل چهارم نمودار افزایش میدان الکتریکی را به عنوان تابعی از پارامترهای مختلف از قبیل ضخامت لایه دی الکتریک،طول موج،شعاع نقطه کوانتومی،گذردهی نسبی دی الکتریک رسم می نمائیم.
در نهایت نتیجه گیری و پیشنهادهایی برای ادامه کار را در فصل پنجم ارائه می‌دهیم.
فصل دوم: ویژگی های ساختار مورد بررسیفصل دوم

ویژگی های ساختار مورد بررسی
2-1 ویژگی نقطه کوانتومی
نقاط کوانتومی نانو بلور های نیمه هادی هستند که قطر فیزیکی آنها کمتر از شعاع بوهر اکسایتون است . این مواد نسبت به نانو ذرات توده ای رفتار متفاوتی نشان می دهند و دارای ویژگی های اپتو الکترونیک جالب و قابل توجهی هستند [14] . موادی از قبیل سلنید کادمیوم،سولفید سرب، سولفید روی، فسفات ایندیوم و غیره بسته به اندازه، طول موج یا رنگ معینی از نور را پس از تحریک الکترونها با استفاده از یک منبع خارجی از خود ساطع می کنند. انتشار نور توسط نقاط کوانتومی در تشخیص های پزشکی کاربرد فراوانی دارد. این نقاط به صورت برچسب فلوئورسانی عمل می کنند با این تفاوت که در برابر درخشان شدن خاصیت و توانایی خود را از دست نمی‌دهند و در مدت زمان طولانی تری روشن باقی می‌مانند[15].
2-1-1 اکسیتون
هنگامی که فوتونی به یک الکترون درون مولکول برخورد می کند اگر انرژی فوتون برابر یا بیشتر از مقدار انرژی بین حالت پایه ی الکترونی و حالت های اشغال نشده باشد، الکترون انرژی فوتون را جذب نموده به حالت انرژی بالاتر منتقل می شود. این اتفاق برای یک الکترون در یک نیمه رسانا نیز رخ میدهد و الکترون ها، فوتونهای با انرژی بیشتر از گاف انرژی را جذب کرده و از نوار ظرفیت به نوار هدایت منتقل میشوند. هنگامی که الکترون به نوار هدایت برانگیخته میشود یک فضای خالی در نوار ظرفیت بر جای میگذارد که در فیزیک به آن حفره گفته میشود. حفره بسیار شبیه به یک الکترون با بار مثبت عمل می کند.
هنگامی که الکترون برانگیخته میشود ممکن است یکی از دو مورد زیر رخ دهد. اولین امکان این است که دو ذره مسیر مستقیم خود را طی کرده الکترون از یک سمت و حفره از سمت دیگر حرکت نماید. در صورت یک مهندسی هوشمندانه می توان الکترون را از یک انتهای ماده و حفره را از انتهای دیگر جمع آوری نمود که این حالت با نام جریان الکتریکی شناخته میشود. از طرف دیگر مورد دیگری می تواند رخ دهد و آن تشکیل اکسیتون میباشد. به علت اینکه یک ذره ی باردار مثبت در مجاورت یک ذره ی باردار منفی قرار میگیرد این دو میتوانند یکدیگر را به دام انداخته و چیزی شبیه به اتم هیدروژن تشکیل دهند. این سیستم دوتایی ناپایدار اکسیتون نامیده میشود. پس یک اندرکنش جاذبه الکتروستاتیک بین حفره والکترون طبق رابطه ی زیر پدید میآید.
2-1
Eexciton=-1/8e24πε°εRکه R شعاع نقاط کوانتومی، e بار الکتریکی الکترون، ε0 ضریب گذردهی خلأ و ε ثابت دیالکتریک است. به دلیل مشابهت اکسیتون با اتم هیدروژن، شعاع بوهر اکسیتون طبق رابطهی زیر بیان میشود.
2-2
r=εh2πmre2در این رابطه h ثابت پلانک وmr جرم موثر الکترون و حفره می باشد. اگر شعاع نقاط کوانتومی هم مرتبه یا کوچکتر ازr باشد، اصطلاحاً الکترون ها در حالت رژیم حبس قوی هستند. به دلیل محبوس شدن سه بعدی الکترونها در ابعاد نانومتر از چاه پتانسیل بی نهایت کروی در حالت رژیم حبس قوی استفاده میشود. این انرژی به قرار زیر است[6].
2-3
Econfinement=h28R21me+1mhکه me جرم موثر الکترون و mh جرم موثر حفره میباشد.
با توجه به رابطه (2-1) و (3-2) و شکل (2-1) انرژی نوار گاف انرژی نقاط کوانتومی به قرار زیر است[6]:
2-4 EgQD=Eband gapbulk+Econfinement+EexcitonEgQD= Eband gapbulk+ h28R21me+1mh-1/8e24πε°εRطیف جذبی قوی و پهن این نانو ذرات ناشی از جذب فوتون هایی که حداقل به اندازه نوار گاف، انرژی دارند می باشد. طیف فلورسانس متقارن و باریک این نانو ذرات ناشی از نشر فوتونی به دلیل بازترکیبی الکترون و حفره می باشد که در حدود نوار گاف، انرژی دارند. بر اساس رابطهی (2-4) هرچه اندازه نانو ذرات بزرگتر شود انرژی نوار گاف نقاط کوانتومی کمتر شده و انتقال سرخ فلورسانس صورت می گیرد شکل (2-2) بنابراین طیف فلورسانس نقاط کوانتومی تنظیم پذیر بوده و علاوه بر ساختار بلوری، تابع اندازه نانو ذرات می باشد.[16]

شکل2-1: نوار گاف انرژی نقاط کوانتومی

شکل2-2: طیف جذبی و فلورسانس نقاط کوانتومی CdSe در اندازه های مختلف[7]
جدول (1-1) شعاع بور اکسیتون چند نیمه رسانای مرسوم را نشان میدهد، که توسط سینکلر و داگوتو در سال 2009 تدوین شد [17]. ما در این جا از نقطه کوانتومی CdSe استفاده کردهایم.
جدول2-1: شعاع بوهر اکسایتون و گاف انرژی چند نیمه رسانا
Bandgap energy(ev) Exciton bohr rudius(nm) Classification Semiconductor
11/1 3/4 IV Si
424/1 10 II-VI GaAs
583/2 8/2 II-VI CdS
74/1 6 II-VI CdSe
68/3 5 II-VI ZnS
41/0 20 IV-VI PbS
2-2 پلاسمون سطحی
ریچی را باید جزء اولین پیشگامان در عرصهی بررسی پلاسمون دانست. مشاهدهی برانگیزش دسته جمعی در سطح یک لایه نازک فلز هنگام عبور الکترون پر انرژی جزء اولین آزمایشهای وی به حساب میآید. هر چند نتایج بدست آمده توسط وی قبلاً توسط پاین و بوهم نیز گزارش شده بودند اما بررسی دقیق آزمایشگاهی پلاسمونیک اولین بار توسط ریچی صورت پذیرفت [ 18] . حدود دو سال بعد از این واقعه، پاول و سوان وجود برانگیزش را به صورت تئوری ثابت نمودند. این موضوع را باید آغاز تحولات عظیم در عرصه پلاسمون سطحی دانست. هر چند در آن دوران مشکلات پیاده سازی ساختارهای مبتنی بر پلاسمونیک پیشرفت‌ها را دچار رکود گردانید، در سالهای بعد با پیشرفت‌های صورت گرفته در عرصهی نانو بار دیگر نظر دانشمندان به پدیدهی پلاسمون جلب شد[19].
در نانوذرات فلزی تشدید پلاسمون سطحی مسئول خواص نوری منحصر به فرد آنهاست. پلاسمون سطحی برانگیختگی نوسانات تجمعی بار در فصل مشترک فلز و دیالکتریک است [20].
هنگامی که فرکانس نور فرودی به نانوذرات فلزی، با فرکانس پلاسمون سطحی برابر باشد، تشدید پلاسمون سطحی اتفاق می افتد. فرکانس تشدید پلاسمون سطحی در نانوذرات فلزی به شکل، اندازه و محیطی که نانوذرات در آن قرار دارند بستگی دارد[21]. بررسی دقیق رابطه فرکانس پلاسمون سطحی با اندازه نانوذرات تنها در شکلهای ساده امکان پذیر است. تئوری مای به بررسی برهمکنش نور با نانوذرات کروی شکل فلزی میپردازد و محل تشدید پلاسمون سطحی در طیف نوری نانوذرات کروی شکل فلزی را به خوبی محاسبه میکند[2].
در فلزات نجیب، زمانى که اندازه ى ذره به چند ده نانو مى‌رسد، یک جذب خیلى قوى مشاهده میشودکه جذب پلاسمون سطحی نامیده میشود، از سال ها پیش مورد استفاده قرار گرفته است.
محلول کلوئیدى از نانوذرات طلا به دلیل جذب پلاسمون سطحى، رنگ قرمز شدیدى را از خود نشان مىدهند.
وجود یک فصل مشترک بین مواد با ثابت دى الکتریک مختلف، ممکن است به فرایندهاى تحریک ویژه ى سطحى منجر شود. فصل مشترک میان ماده اى با ثابت دى الکتریک مثبت و ماده اى با ثابت دى الکتریک منفى مثل فلزات، می‌تواند باعث انتشار امواج الکترومغناطیسى ویژه اى شود که امواج پلاسمون سطحى خوانده مى شود و در محدوده ى نزدیک سطح باقى مى ماند. این تشدید پلاسمون سطحى، به وسیله ى حرکت همدوس الکترونهاى نوار هدایت، که با میدان الکترومغناطیس برهم کنش مىکند، به وجود میآید. فرکانس و پهنای جذب پلاسمون وابسته به شکل و اندازه ى نانوذرات فلزى است، و به همان نسبت به ثابت دى الکتریک محیط و فلز هم وابسته است. فلزات نجیب مثل مس، نقره و طلا داراى یک تشدید پلاسمون مرئى بسیار قوى هستند، این در حالى است که بسیارى از دیگر فلزات واسطه، فقط یک باند جذبى ضعیف و پهن در ناحیهى فرابنفش دارند.
ابتدا مختصری از طرح مورد استفاده را توضیح خواهیم داد و مدل درود را بررسی می‌کنیم.
2-3 ساختار نقطه کوانتومی پلاسمونی
ساختار نقطه کوانتومی پلاسمونی که برای استفاده به عنوان نشر کننده نور با درخشندگی بالا قبلاً توسط ر.ک.جین و همکاران پیشنهاد شده بود [25-22] ، شامل یک نقطه کوانتومی محصور در یک نانو پوسته فلز نجیب مناسب (معمولا طلا یا نقره ) میباشد. ما در این پایان نامه از نانو فلز مس استفاده کرده ایم. همان طور که به صورت طرح وار در شکل2-3 نشان داده شده است برای ساختار تک نقطه کوانتومی هم مرکز با یک لایه مناسب عایق دی الکتریک بین نقطه کوانتومی و پوسته فلزی به منظور به حداقل رساندن گذار غیر تابشی و بهینه سازی افزایش تشدید پلاسمونی میباشد. نور را از بیرون به این ساختار که درون آب قرار دارد میتابانیم، سپس میدان الکتریکی را در هر نانوپوسته به دست میآوریم.

شکل2-3: طرح واره نقطه کوانتومی پلاسمونی دو پوسته ای با جدا کننده دی الکتریکدر ساختار نقطه کوانتومی پلاسمونی که به صورت مناسب طراحی و بهینه سازی شده است، لایه های پوسته نانویی فلزی و دی الکتریک نه تنها به افزایش میدان الکتریکی در مرکز نانو ساختار در نتیجه افزایش روشنایی نانو ذرات کمک خواهد کرد ،بلکه نقاط کوانتومی از نظر شیمیایی از بافت ایزوله خواهد شد و به طور قابل توجهی سمیت چنین ذرات نانویی را کاهش خواهد داد[12]. نقطه کوانتومی سلنید کادمیوم به دلیل دارا بودن کادمیوم سمی است. و هر چه اندازه این نقطه ها کوچکتر باشد راحت‌تر در بافت بدن نفوذ میکند. حال اگر توسط نانو لایه های دی‌الکتریک و فلز، نقطههای کوانتومی را روکش کنیم، هم اندازه‌ ساختار بزرگ می‌شود و هم نقطه کوانتومی سلنید کادمیوم از نظر شیمیایی از بافت جدا می‌شود.
2-4 روش ریاضی استفاده شده برای محاسبه تابع دی الکتریک نانوپوسته
فلزی
در اینجا ابتدا به بررسی تابع دیالکتریک نانو پوسته فلزی میپردازیم. مدل درود عموماً مدل مناسبی برای بررسی رفتار رساناها میباشد.
2-5 بررسی مدل درود
پاسخ اپتیکی فلزات توسط تابع دی الکتریک آنها شناخته میشود. آزمایشهای مختلفی برای محاسبه تابع دیالکتریک انجام شده است. مدل درود در مورد فلزات ساده به خوبی با نتایج تجربی همخوانی دارد.
2-5-1 مدل درود در فلزات
در این مدل فرض میکنیم که بارهای الکتریکی تحت تأثیر مستقیم میدان خارجی باشند اما اگر یک نیروی تعدیل کننده به آن‌ها وارد شود. از نظر مکانیک کلاسیک و با توجه به قانون دوم نیوتن می‌توان این مدل را به صورت زیر بیان کرد[25]:
2-5 m∂2∂t2rt+mΓ∂∂trt=-eE0e-iωtm و e به ترتیب جرم مؤثر و بار الکترون است و ???? ثابت میرایی است. با حل این معادله دیفرانسیل، جابجایی الکترون از موقعیت اولیه خود به دست میآوریم:
2-6 rt=emE0e-iωtω2+iΓωچگالی قطبشی طبق تعریف ، دو قطبی لحظه ای کل در واحد حجم است، بنابراین قطبش میتواند به صورت p=ner بیان شود که n چگالی الکترونهای آزاد در فلز را نشان می‌دهد. با توجه به تعریف جابجایی الکتریکی D داریم
2-7 D=ε0E+P=ε01+χeE=ε0εrEبا استفاده از رابطه2-6 و 2-7 تابع دی الکتریک وابسته به فرکانس را به دست می آوریم :
2-8 εω=1-ωp2ω2+iΓω=1-ωp2ω2+Γ2+iωp2Γωω2+Γ2که ωp فرکانس پلاسمای حجمی است که در آن چگالی گاز الکترونی نوسان می‌کند:
2-9 ωp=ne2ε0mتوجه کنید که ???? ثابت میرایی است، که آهنگ برخورد الکترونها را نشان میدهد و برای فراهم کردن قسمت موهومی χω یا εω کاملاً ضروری است. مسافتی که الکترونها در بین دو برخورد طی میکنند، پویش آزاد میانگین نامیده میشود. ثابت میرایی به پویش آزاد میانگین الکترون ها l و سرعت فرمی vf مربوط میشود[25]:
2-10 Γ=vflωp فرکانس پلاسمای حجمی، ثابت میرایی ???? و سرعت فرمی vf برای سه فلز نجیب مس ، طلا و نقره در جدول 2-2 نشان داده شده است[25].
جدول2-2: ωp فرکانس پلاسمای حجمی ،ثابت میرایی ???? و سرعت فرمی vf برای
سه فلز نجیب مس ، طلا و نقرهVf106ms-1????1015s-1ev???? ωp1015s-1ωpevفلز نجیب
6/114/0 092/0 4/13 8/8 مس
4/1 11/0 072/0 8/13 1/9 طلا
4/1 032/0 021/0 14 2/9 نقره
برخلاف مواد دی‌الکتریک که توسط گذردهی مثبت در فرکانسهای نوری مشخص می‌شوند. قسمت حقیقی تابع دی الکتریک برای فلزات نجیب منفی است. مقدار منفی برای تابع دی الکتریک دلالت می‌کند که الکترونهای آزاد در فلزات در فاز مخالف نسبت به میدان الکتریکی محرک نوسان می‌کند.
2-5-2 اصلاح مدل درود برای نانوفلزات
???? برای وقتی که اندازه هندسی فلزات کمتر از چند ده نانو متر است دیگر معتبر نیست رابطه2-10 به ما میگوید که ???? آهنگ برخورد است و به پویش آزاد میانگین الکترون l مربوط میشود . l را با استفاده از داده های جدول 2-1 می توان تخمین زد. هنگامی که مقیاس طول فلز قابل مقایسه یا کمتر از l باشد، در نتیجه حرکت الکترون های آزاد توسط مرزهای فیزیکی ساختار فلزی محدود میشود و مسیر میانگین متوسط کاهش مییابد[27].
2-11 1l1=1l+1Rکه R ضخامت پوسته فلزی است برابرr2-r1 است [28]. l1 میانگین پویش آزاد محدود شده الکترون است. ازترکیب رابطه 2-10 و رابطه 2-11 پارامتر میرایی جدید که تابع اثر اندازه است را به دست می آوریم:
2-12
Γ1=Γ+avfRa پارامتری است که به هندسه و تئوری استفاده شده برای این عبارت بستگی دارد. در چارچوب نظریهی ساده درود و پراکندگی همسانگرد a=1 میباشد[29]. پس تابع دی الکتریک توده نانو پوستهی فلزی به صورت زیر اصلاح می‌شود:
2-13
εR,ω=1-ωp2ω2+Γ12+iωp2Γ1ωω2+Γ12εR,ωتابع دی الکتریک وابسته به اندازه است .
2-5-3 نمودارهای تابع دی الکتریک وابسته به اندازه نانو فلزات نجیب
از آن جایی که در فصل چهارم نمودار تغییرات میدان الکتریکی را بر حسب متغیر طول موج و ضخامت نانو پوسته فلزی رسم میکنیم پس به مقدار دقیق ثابت دیالکتریک نانوپوستهی مس، طلا و نقره در ضخامتها و طول موجهای مختلف نیاز داریم. با استفاده از نرم افزار متلب قسمت موهومی و حقیقی تابع دی الکتریک را با لحاظ کردن اثر اندازه برای نانوپوستهی مس، طلا و نقره بر حسب طول موج رسم کردهایم. کد این برنامه پیوست شده است.

شکل2-4: نمودار قسمت موهومی تابع دی الکتریک نانو پوسته مس بر حسب طول موج
با احتساب اثر اندازه در ضخامت های متفاوت
شکل 2-5: نمودار قسمت موهومی تابع دی الکتریک نانوپوستهی طلا بر حسب طول
موج با احتساب اثر اندازه در ضخامت های متفاوت
شکل2-6: نمودار قسمت موهومی تابع دی الکتریک نانوپوستهی نقره بر حسب طول
موج با احتساب اثر اندازه در ضخامت های متفاوت
شکل2-7: نمودار قسمت حقیقی تابع دی الکتریک نانوپوستهی مس بر حسب طول موج
با احتساب اثر اندازه در ضخامت های متفاوت در محدودهnm800 تاnm950
شکل2-8: نمودار قسمت حقیقی تابع دی الکتریک نانوپوستهی طلا بر حسب طول موج
با احتساب اثر اندازه در ضخامت های متفاوت در محدودهnm800 تاnm950
شکل2-9: نمودار قسمت حقیقی تابع دی الکتریک نانوپوستهی نقره بر حسب طول
موج با احتساب اثر اندازه در ضخامت های متفاوت در محدودهnm800 تاnm950به حساب آوردن اثر اندازه تابع دی الکتریک فلز در محاسبه افزایش میدان الکتریکی در ساختار نانویی توصیف شده برای اولین بار صورت می‌گیرد.
فصل سوم:نحوه انجام محاسباتفصل سوم

نحوه انجام محاسبات
ما از تئوری پراکندگی مای با مدل بردار هماهنگ کروی [26] برای بررسی افزایش میدان الکتریکی در ساختار نانویی چند لایه استفاده کردهایم. ساده ترین مدل هندسی که برای تجزیه و تحلیل پراکندگی مای در اینجا استفاده میشود این است که فرض میشود نانو ذرات شامل هسته تک نقطه کوانتومی نیمه رسانا و یک لایه نانو پوسته دیالکتریک و یک لایه نانو پوسته فلز نجیب است که این نانو ذره توسط آب احاطه شده است (چون بافت بدن تا حدود زیادی آب است)، از آنجایی که مربوط به تصویر برداری زیستی است. ثابت دی الکتریک محیط اطراف نانو ذره 78/1 است [26]. ما در اینجا بر تحریک جذب دو فوتونی نقطه کوانتومی سلنید کادمیوم به اندازه nm 6 که قله فلورسانس آن در طول موج nm 600 اتفاق می افتد و طول موج بهیینه برای تحریک جذب دو فوتونی در محدوده nm 800 تا nm 950 واقع میشود تاکید می‌نمائیم [12].
ساختار مورد مطالعه ما یک نانو ذره چند لایه کروی است لایه اول یک نقطه کوانتومی است که در مرکز نانو ذره کروی قرار دارد، لایه دوم نانو پوسته دی الکتریک است و لایه سوم نانو پوسته فلز نجیب است. همه لایه ها هم مرکز هستند. نور را از بیرون به این نانو ذره میتابانیم و میدان الکتریکی را در هر لایه از این نانو ذره محاسبه میکنیم. این نانو ذره در آب قرار دارد. تئوری مای به توصیف پراکندگی موج تخت و تکفام، به وسیله ماده کروی شکل که توسط محیط همگن و همسانگرد احاطه شده میپردازد. نقطه شروع از حل معادله ماکسول در غیاب بار و جریان خارجی است. به دلیل کروی بودن نانو ذرات معادلات ماکسول در مختصات قطبی کروی حل میشوند. با شرط پیوستگی مؤلفهی مماسی میدانهای الکتریکی و مغناطیسی، به روابط بازگشتی میرسیم و میتوان در هر لایه از نانو ذره کروی میدان الکتریکی را به دست آورد.
3-1 بسط موج تخت بر حسب هماهنگ های کروی برداری
پراکندگی مای، پراکندگی تابش الکترومغناطیسی توسط ذرات کروی است که قطر قابل مقایسه با طول موج تابش فرودی دارند. در طبیعت ما این اثر را به عنوان مثال در ظاهر سفید ابرها می بینیم . به این صورت که قطره های آب موجود در ابر در اندازه های مختلف موجود می‌باشند و چون امواج پراکنده شده به اندازه قطرهها بستگی دارد پس تمام طول موج‌ها را پراکنده می‌کند. ترکیب طیف تابش پراکنده شده سبب میشود ابرها سفید به نظر برسند. ما اینجا از پراکندگی مای برای بررسی تغییرات میدان الکتریکی در یک نانو ذره کروی شکل با هسته نقطه کوانتومی و جدا کننده دی الکتریک و نانوپوسته فلز نجیب پرداختهایم. همچنین اثر اندازهی شعاع نانو ذره، ضخامت نانوپوسته فلزی، ثابت دی الکتریک و طول موج را بر میدان الکتریکی بررسی کردهایم.
ما در این بخش به تفصیل روش ریاضی به کار رفته را توصیف میکنیم:
میدان الکتریکی و مغناطیسی داخل نانو ذره را به ترتیب با E و H نشان میدهیم. میدان الکتریکی و مغناطیسی تابشی و پراکنده شده را به ترتیب با Ei ،Hi ،Es و Hs نشان میدهیم. میدان الکترومغناطیسی در محیط پیرامون نانو ذره برابر مجموع میدان تابشی و پراکنده شده است.
موج الکترومغناطیسی تخت به صورت زیر تعریف میشود:
3-1 Ei=E0eik.x-iωtHi=H0eik.x-iωtاین موج الکترومغناطیسی باید در معادلههای ماکسول صدق کند:
در غیاب بار
3-2 ∇.E=0, و
3-3 ∇.H=03-4 ∇×E=iωμH3-5 ∇×H=-iωεEمیخواهیم معادلهی موج را برای موج تخت به دست آوریم. برای این منظور کرل رابطه 3-4 و 3-5 را به دست می‌آوریم :
3-6 ∇×∇×E=iωμ∇×H=ω2μεE3-7 ∇×∇×H=-iωε∇×E=ω2μεHبا استفاده از تساوی برداری زیر و توجه به این نکته که دیورژانس E و H صفر می‌باشد
3-8 ∇×∇×A=∇∇.A-∇2A,داریم:
3-9
∇2E+k2E=0و
3-10 ∇2H+k2H=0که k2=ω2με می باشد. دیورژانس E و H صفر است.
پس یک میدان الکترومغناطیس زمانی از نظر فیزیکی قابل درک است که در یک محیط مادی همگن، همسانگرد و خطی در معادله موج صدق کند[30].
از آنجایی که کار کردن با کمیت اسکالر راحت‌تر از کار کردن با بردار می‌باشد؛ یک تابع برداری M به صورت زیر میسازیم:
3-11
M=∇×(cψ)که ψ یک تابع اسکالر و c یک بردار ثابت دلخواه است. دیورژانس کرل هر تابع برداری صفر است پس داریم:
3-12 ∇.M=0حال اگر M معادله موج را نیز ارضا کند، خصوصیت یک میدان الکتریکی را دارد. اگر یک تابع برداری دیگری با همین خصوصیت داشته باشیم که کرل آن با M متناسب باشد آنوقت این دو تابع برداری به طور کلی تمام خصوصیتهای یک موج الکترومغناطیسی را دارند. ابتدا با استفاده از اتحادهای برداری زیر شرط صدق کردن M در معادله موج را به دست می‌آوریم. [29] :3-13
∇×A×B=A∇.B-B∇.A+B.∇A-A.∇B,∇A.B=A×∇×B+B×∇×A+B.∇A+A.∇B,داریم:
3-14
M=∇×cψ→M=∇ψ×c+ψ∇×c→M=∇ψ×c,زیرا c یک بردار ثابت است وکرل آن صفر میشود. حال کرل M را به دست میآوریم:
3-15 ∇×M=∇×∇ψ×cبا استفاده از اتحاد اول برداری 3-14 در رابطهی 3-15 داریم:
3-16 ∇×M=∇ψ∇.c-c∇.∇ψ+c.∇∇ψ-∇ψ.∇cجمله اول و چهارم در رابطه 3-16 صفر میشود زیرا c یک بردار ثابت است و با اعمال عملگر ∇ روی آن از بین میرود. پس داریم:
3-17 ∇×M=-c∇2ψ+c.∇∇ψاز طرفی با توجه به رابطه دوم برداری3-13 داریم:
3-18 ∇∇ψ.c=∇ψ×∇×c+c×∇×∇ψ+c.∇∇ψ+∇ψ.∇cجمله اول و چهارم در رابطه بالا صفر میشود زیراc یک بردار ثابت است. چون کرل هر گرادیانی صفر است پس جمله دوم نیز صفر می‌شود بنابراین داریم:
3-19 ∇∇ψ.c=c.∇∇ψبنابر این رابطه 3-17 به رابطه زیر تبدیل می‌شود:
3-20 ∇×M=-c∇2ψ+∇∇ψ.cاکنون کرل کرل M را به دو شیوه به دست میآوریم. ابتدا با استفاده از اتحاد برداری و دوم با توجه به رابطه بالا:
3-21 ∇×∇×M=∇∇.M-∇2M=- ∇2M, ∇×∇×M=-∇×c∇2ψ+∇×∇∇ψ.c,با توجه به رابطه 3-12 دیورژانس M در رابطه بالا صفر میشود. همچنین کرل گرادیان نیز صفر است، پس رابطهی بالا به صورت زیر در میآید:
3-22
∇×∇×M=- ∇2M, ∇×∇×M=-∇×c∇2ψ,از برابر قرار دادن دو طرف معادله بالا داریم:
3-23 ∇2M= ∇×c∇2ψحال به طرفین رابطه k2M را اضافه میکنیم
3-24 ∇2M+k2M= ∇×c∇2ψ+k2Mباتوجه به رابطه 3-11 داریم:
3-25 ∇2M+k2M= ∇×c∇2ψ+k2∇×(cψ)سرانجام داریم:
3-26 ∇2M+k2M= ∇×[c∇2ψ+k2ψ]بنابراین اگر ???? یک جواب معادله موج اسکالر باشد،آنگاه M معادله موج برداری را ارضا میکند. یعنی برای اینکه M در معادله موج برداری صدق کند شرط زیر را داریم:
3-27 ∇2ψ+k2ψ=0همچنین با توجه به رابطه 3-14 نتیجه میگیریم که M بر c عمود است.
اکنون تابع برداری دیگری را میسازیم[30]:
3-28 N=∇×Mkچون دیورژانس کرل هر تابع برداری صفر است داریم:
3-29 ∇.N=0N همچنین در معادلهی موج برداری صدق میکند:
3-30 ∇2N+k2N=0برای اثبات داریم:
3-31 N=1k∇×M→∇×N=1k∇×∇×M=1k[∇∇.M-∇2M]باتوجه به رابطه 3-12 داریم
3-32 ∇×N=-1k∇2Mاز طرفی با توجه به رابطه 3-26 و 3-27 داریم:
3-33 ∇2M+k2M=0→-∇2M=k2Mحال با جایگذاری رابطه 3-33 در3-32 به‌دست می‌آوریم:
3-34 ∇×N=1kk2M=kM∇×N= kMبنابراین کرل M با N متناسب است و کرل N نیز با M متناسب است. پس داریم :
3-35 ∇×∇×N=k∇×M∇∇.N-∇2N=k∇×M-∇2N=k∇×Mدر رابطه بالا چون دیورژانس N صفر است در جمله آخر جمله دیورژانس حذف شد. حال به طرفین رابطه 3-35 جمله k2N اضافه میکنیم :
3-36 ∇2N+k2N=-k∇×M+k2Nحال با استفاده از رابطه 3-28داریم:
3-37 ∇2N+k2N=-k2N+k2N=0پس رابطه 3-30 اثبات شد.
بنابراین M و N همه خصوصیات مورد نیاز یک میدان الکترومغناطیسی را دارند، در معادله موج برداری صدق میکنند، دیورژانس صفر دارند، کرل M متناسب با N و کرل N متناسب با M است. بنابراین مسئله پیدا کردن حلهایی برای معادلات میدان به مسئله نسبتاً ساده تر پیدا کردن حلهایی برای معادله موج اسکالر کاهش مییابد. پس تابع اسکالر ???? را یک تابع مولد برای هماهنگهای برداری M و N می‌نامیم.
چون ما در اینجا پراکندگی توسط کره را بررسی میکنیم پس ???? را به گونه ای انتخاب می‌کنیم که معادلهی موج را در مختصات قطبی کروی r,θ,φ ارضا کند. بردار دلخواه c را بردار شعاعی r انتخاب میکنیم
3-38 M=∇×rψبنابراین M یک جواب معادلهی موج برداری در مختصات قطبی کروی است. برای یک کره با شعاع ثابت داریم r.M=0.
معادله موج اسکالر در مختصات قطبی کروی به صورت زیر می‌باشد:
3-39 ∇2ψ+k2ψ=01r2∂∂rr2∂ψ∂r+1r2sinθ∂∂θsinθ∂ψ∂θ+1r2sin2θ∂2ψ∂φ2+k2ψ=0ما حل های خاص را برای رابطه 3-39 به صورت زیر از طریق جدا سازی متغیرها به دست میآوریم[31]:
3-40 ψr,θ,φ=RrѲθФφکه هنگامی که در رابطه 3-39 جایگذاری شود سه معادله جدا از هم را نتیجه میدهد:
3-41 d2Фφdφ2+m2Фφ=03-42
ddrr2dRrdr+k2r2-nn+1Rr=0و سرانجام وابستگی به θ را مینویسیم:
3-43 1sinθddθsinθdѲθdθ+nn+1-m2sin2θѲθ=0اما بررسی جوابها به صورت زیر انجام می‌گیرد:
جواب رابطه 3-41:
3-44 Фφ=eimφاز آنجا که کل ناحیه سمتی مد نظر است برای تک مقدار بودن Фφ ،m باید صحیح باشد.
جواب های 3-43 در θ=0 وθ=π محدود می باشد توابع لژاندر وابسته نوع اول Pnmcosθ از درجه n و مرتبهm است. این توابع لژاندر متعامد هستند [30]
3-45 -11PnmμPn'mμdμ=δnn'22n+1n+mǃn-mǃکه μ=cosθ وδnn' نیز دلتای کرونکر است، برای n=n' یک و در غیر این صورت صفر میباشد. بنابراین جواب قسمت زاویه ای Ω=θ,φ ،YnmΩ است:
3-46 YnmΩ=2n+14πn-mǃn+mǃPnmcosθeimφبرای بررسی جواب‌های قسمت شعاعی ابتدا متغیر بدون بعد ρ=kr و تابع z=R(r)√ρ را تعریف می‌کنیم و در رابطهی 3-42 جایگذاری می‌کنیم[30]:
3-47 kddρρ2k2kρdzdρρ-12ρz+k2ρ2k2-nn+1zρ=0که در جمله اول رابطه بالا از عبارت زیر استفاده کرده ایم:
dRdr=kdRdρ=kddρzρ=kρ(dzdρρ-12ρz)رابطه 3-47 را ساده می‌کنیم سپس مشتقگیری را انجام میدهیم و حاصل را در √ρ ضرب میکنیم:
3-48 ρddρ(ρdzdρ)+[ρ2-n+122]z=0جوابهای مستقل خطی برای رابطه 3-48 توابع بسل نوع اول و دوم Jν و Nν هستند. که مرتبه ν=n+12 نیمه صحیح است. بنابراین جواب های مستقل خطی برای رابطه 3-42 توابع بسل کروی هستند[31].
3-49 jnkr=π2krJn+12krnnkr=π2krNn+12krhn1kr=π2krHn+121kr=jnkr+innkrhn2kr=π2krHn+122kr=jnkr-innkrو جواب نهایی تابع مولد که معادلهی موج اسکالر را در مختصات قطبی کروی ارضا کند به صورت زیر است:
3-50 ψnmik,r,Ω=1nn+1zn(i)krYnmΩzn(1)kr=jnkrzn(3)kr=hn1krپس حالا می‌توانیم توابع M و N را به دست آوریم. طبق رابطه 3-38؛‌M=∇×rψ داریم:
3-51 Mnmi=1r2sinθrrθrsinθφ∂∂r∂∂θ∂∂φrn(n+1)zn(i)krYnmΩ003-52 Mnmi=imzn(i)krn(n+1)2n+14πn-mǃn+mǃPnmcosθsinθeimφθ-zn(i)krn(n+1)2n+14πn-mǃn+mǃdPnmcosθdθeimφφبا انجام کرل M بر حسب بردارهای‌یکه کروی به‌دست آمد. اکنون N را نیز با توجه به رابطه 3-28، N=∇×Mk، به دست می‌آوریم:
3-53 Nnmi=1kr2sinθ1nn+12n+14πn-mǃn+mǃ×(rrθrsinθφ∂∂r∂∂θ∂∂φ0imrznikrPnmcosθsinθeimφ-rsinθznikrdPnmcosθdθeimφبعد از کرل گرفتن از رابطه بالا و انجام ساده سازی داریم:
3-54 Nnmi=znikrkreimφ2n+14πn-mǃn+mǃnn+1Pnmcosθr+1krddr(rznikr)eimφnn+12n+14πn-mǃn+mǃdPnmcosθdθθ+1krddr(rznikr)imeimφnn+12n+14πn-mǃn+mǃPnmcosθsinθφاکنون که هماهنگ های برداری M و N به دست آمدند می‌توانیم موج تخت تابشی را بر حسب این هماهنگ های کروی بسط دهیم. فرض می‌کنیم موج تخت در جهت x قطبیده شده، راستای انتشار محور z است:
3-55 Ei=E0eiK.r-iωtxبدون در نظر گرفتن وابستگی زمانی وبا توجه به جهت انتشارk=kz داریم:
3-56 Ei=E0eikrcosθxبردار یکه x بر حسب بردارهای یکه کروی به صورت زیر است:
3-57 x=sinθcosφr+cosθ cosφθ-sinφφاکنون x در رابطه 3-56 جایگذاری می‌کنیم.
3-58 Ei=E0eikrcosθsinθcosφr+cosθ cosφθ-sinφφکه به صورت زیر بسط می‌دهیم:
3-59 Ei=m=-nnn=1∞αnmMnm1k,r,Ω+δnmMnm3k,r,Ω+γnmNnm1k,r,Ω+βnmNnm3k,r,Ωدر بخش بعدی خواص M وN را بررسی می‌کنیم و ضرایب را به دست می آوریم و سرانجام افزایش میدان یعنی ElxEi در هر لایه به دست می آوریم. l به لایه نانوساختار اشاره دارد.
در این بخش ابتدا رابطه تعامد M و N را بررسی می‌کنیم. سپس ضرایب هماهنگ های کروی برداری موج تخت تابشی را حساب می‌کنیم. همچنین بسط میدان مغناطیسی را بر حسب هماهنگ های کروی برداری به دست می آوریم . زیرا میدان مغناطیسی با کرل میدان الکتریکی متناسب است. با توجه به شرایط مرزی میدان الکتریکی و میدان مغناطیسی در مرز هر لایه همه ضرایب باقی مانده را حساب می‌کنیم. با استفاده از ضرایب در هر لایه از نانو کره چند لایه افزایش میدان الکتریکی را در هر موقعیت مکانی به دست می‌آوریم.
3-2 ویژگی های هماهنگ های کروی برداری
در اینجا سه حالت ممکن در راست هنجارش M و N ها را بررسی میکنیم:
الف)راست هنجارش مدهای M و N
ب) راست هنجارش مدهای M و M
پ) راست هنجارش مدهای N و N
3-2-1 راست هنجارش مدهای M و N
3-60 02π0πMnmik,r,Ω.Nn'm'j*k,r,ΩdΩ=0برای نشان دادن درستی رابطه 3-60 برای راحتی anm=1nn+12n+14πn-mǃn+mǃ معرفی می‌کنیم و Mnmik,r,Ω وNn'm'j*k,r,Ω را از روابط 3-52 و 3-54 در انتگرال بالا جایگذاری می‌کنیم.
3-61 02π0π[anmimznikrPnmcosθsinθeimφan'm'1krddrrzn'jkrdPn'm'cosθdθe-im'φ+anmznikrdPnmcosθdθeimφan'm'1krddrrzn'jkrPn'm'cosθsinθim'e-im'φ]sinθdθdبنابراین برای اثبات تعامد کافی است ثابت کنیم:
3-62 02πeimφe-im'φdφ 0π[PnmcosθsinθdPn'm'cosθdθ+dPnmcosθdθPn'm'cosθsinθ]sinθdθ=0که جواب انتگرال قسمت زاویه سمتی φبرابر2πδmm' است. که δmm' دلتای کرونکر است. بنابراین رابطه بالا به صورت زیر در میآید:
3-63 2π0π[PnmcosθdPn'mcosθ+dPnmcosθPn'mcosθ]=2π0πd[PnmcosθPn'mcosθ]=2πPnmcosθPn'mcosθπ0=0زیرا :
3-64 Pnmcosθ=1-cos2θm2dPnmcosθdcosθدر نتیجه:
3-65 Pnmcosπ=Pnmcos0=03-2-2 راست هنجارش مدهای M و M
3-66 02π0πMnmik,r,Ω.Mn'm'j*k,r,ΩdΩ=0 n≠n'˅ m≠m'برای نشان دادن درستی رابطه 3-66 ؛ از رابطه 3-52 استفاده می‌کنیم و بعد از جایگذاری در رابطه 3-66 داریم:
3-67 02π0π[anman'm'znikrzn'jkrPnmcosθsinθPn'm'cosθsinθm'meimφe-im'φ+anman'm'zn(i)krzn'(j)krdPnmcosθdθdPn'm'cosθdθeimφe-im'φ]sinθdθdφکه جواب انتگرال قسمت زاویه سمتی φ برابر2πδmm' است. که δmm' دلتای کرونکر است. بنابراین فقط انتگرال قسمت θ باقی میماند:
3-68 0π[m2PnmcosθsinθPn'mcosθsinθ+dPnmcosθdθdPn'mcosθdθ]sinθdθبرای حل انتگرال بالا از رابطه 3-43 شروع می‌کنیم یکبار برایPnm می‌نویسم و بار دیگر برای Pn'm :
3-69 1sinθddθsinθdPnmdθ+nn+1-m2sin2θPnm=01sinθddθsinθdPn'mdθ+n'n'+1-m2sin2θPn'm=0عبارت اولی را در Pn'msinθ ضرب می‌کنیم ودیگری را در Pnmsinθ ضرب می‌کنیم و سپس دو جمله را جمع می کنیم:
3-70 ddθsinθdPnmdθPn'm+ddθsinθdPn'mdθPnm+2nn+1-m2sin2θPnmPn'msinθ=0از طرفی داریم:
3-71 ddθsinθdPnmdθPn'm+sinθdPn'mdθPnm=2sinθdPnmdθdPn'mdθ+ddθsinθdPnmdθPn'm+ddθsinθdPn'mdθPnmبا توجه به رابطه 3-70 و 3-71 داریم:
3-72 ddθsinθdPnmdθPn'm+sinθdPn'mdθPnm=2sinθdPnmdθdPn'mdθ+2m2sinθPnmPn'm-2nn+1PnmPn'msinθدر نتیجه انتگرالده رابطه 3-68 به صورت زیر است:
3-73 sinθdPnmdθdPn'mdθ+m2sinθPnmPn'm=12ddθsinθdPnmdθPn'm+sinθdPn'mdθPnm+nn+1PnmPn'msinθپس با توجه به رابطه 3-45 یعنی تعامد توابع لژاندر داریم:
3-74 0π[m2PnmcosθsinθPn'mcosθsinθ+dPnmcosθdθdPn'mcosθdθ]sinθdθ=0π[12ddθsinθdPnmdθPn'm+sinθdPn'mdθPnm+nn+1PnmPn'msinθ]dθ=0+nn+122n+1n+mǃn-mǃδnn'زیرا با توجه به رابطه 3-64 داریم:
3-75 0π12ddθsinθdPnmdθPn'm+sinθdPn'mdθPnmdθ=12sinθdPnmdθPn'm+sinθdPn'mdθPnmπ0=0-0=0و سرانجام داریم:
3-76 02π0πMnmik,r,Ω.Mn'm'j*k,r,ΩdΩ=zn(i)krzn(j)kra2nmnn+122n+1n+mǃn-mǃ2πδmm'δnn'پس به ازای n≠n'˅ m≠m' :
3-77 02π0πMnmik,r,Ω.Mn'm'j*k,r,ΩdΩ=03-2-3 راست هنجارش مدهای N و N
3-78 02π0πNnmik,r,Ω.Nn'm'j*k,r,ΩdΩ=0 n≠n'˅ m≠m'برای نشان دادن درستی رابطه3-78؛ رابطه 3-54 را در رابطه 3-78 جایگذاری می‌کنیم:
3-79 02π0π[nn+1n'n'+1anman'm'znikrkrzn'jkrkreimφe-im'φPnmcosθPn'm'cosθ+anman'm'1krddrrznikr1krddrrzn'jkreimφe-im'φdPnmcosθdθdPn'm'cosθdθ +anman'm'1krddrrznikr1krddrrzn'jkrmm'sin2θeimφe-im'φPnmcosθPn'm'cosθ]sinθdθdφ جواب انتگرال قسمت زاویه سمتی φبرابر2πδmm' است. جواب قسمت θ جمله اول با توجه به تعامد Pnm ها به راحتی به دست میآید. دو جمله آخر هم از عاملهای مشترک فاکتور بگیریم رابطه 3-68 باقی میماند که جواب آن طبق رابطه3-74 برابر nn+122n+1n+mǃn-mǃδnn' است. بنابراین داریم:
3-80 02π0πNnmik,r,Ω.Nn'm'j*k,r,ΩdΩ=n(n+1)1n(n+1)2n+14πn-m!(n+m)!znikrkrzn'jkrkr2πδmm'22n+1n+mǃn-mǃδnn'+1nn+12n+14πn-mǃn+mǃ1krddrrznikr1krddrrzn'jkr2πδmm' nn+122n+1n+mǃn-mǃδnn'که برای n≠n'˅ m≠m' :
3-81
02π0πNnmik,r,Ω.Nn'm'j*k,r,ΩdΩ=0 n≠n'˅ m≠m'3-3 بسط موج تخت فرودی بر حسب هماهنگ های کروی در محیط
اطراف(آب)
در بخش قبل تعامد هماهنگ های کروی را بررسی کردیم، پس اکنون میتوانیم ضرایب بسط موج تخت تابشی را محاسبه کنیم. هر موج الکترومغناطیسی ازمیدان الکتریکی و مغناطیسی تشکیل میشود.ابتدا ضرایب بسط میدان الکتریکی موج فرودی را به دست میآوریم و سپس میدان مغناطیسی را با گرفتن کرل از میدان الکتریکی به دست می آوریم.
3-3-1 محاسبه میدان الکتریکی موج فرودی
میدان الکتریکی موج تخت فرودی را بر حسب هماهنگ های کروی برداری بسط دادیم حال میخواهیم ضرایب بسط را بررسی و محاسبه کنیم. طبق رابطه 3-59 برای میدان الکتریکی موج تخت فرودی 4 ضریب مجهول داریم که برای موج δnm وβnm صفر هستند بنابراین به محاسبه دو ضریب باقی مانده میپردازیم:
محاسبه αnmEi=m=-nnn=1∞αnmMnm1k,r,Ω+δnmMnm3k,r,Ω+γnmNnm1k,r,Ω+βnmNnm3k,r,ΩابتداMnm1k,r,Ω در تک تک جمله های Ei ضرب داخلی میکنیم و سپس انتگرال سطحی میگیریم تا بتوانیم از تعامد هماهنگ های کروی برداری بهره جوییم. برای موج تخت فرودی δnm وβnm صفر هستند. در نتیجه داریم[30]:
3-82 02π0πMnm1k,r,Ω.Eisinθdθdφ=m=-nnn=1∞02π0παnmMnm1k,r,Ω.Mnm1k,r,Ωsinθdθdφ+02π0πγnmMnm1k,r,Ω.Nnm1k,r,Ωsinθdθdφدر رابطه 3-82 انتگرال آخری به دلیل تعامد Mnm1 و Nnm1 صفر می‌شود. از تعامد Mnm1 و Mnm1 نتیجه می‌گیریم که به ازای همه m و n غیر از m و n اصلی که مربوط به Mnm1 است انتگرال باقیمانده صفر می‌شود و در نتیجه علامت مجموع برداشته می‌شود و فقط یک m و n اصلی می‌ماند.
3-83 02π0πMnm1k,r,Ω.Eisinθdθdφ=αnm02π0πMnm1k,r,Ω.Mnm1k,r,Ωsinθdθdφبنابر این برای محاسبه αnm کافی است عبارت زیر را حساب کنیم[29]:
3-84 αnm=02π0πMnm1k,r,Ω.Eisinθdθdφ02π0πMnm1k,r,Ω2sinθdθdφبرای محاسبه αnm ابتدا صورت کسر رابطه 3-84 را حساب می‌کنیم، پس Ei را از رابطهی 3-58 و Mnm1 را از رابطه 3-52 جایگذاری می‌کنیم:
3-85 02π0πMnm1k,r,Ω.Eisinθdθdφ=02π0πeikrcosθcosφcosθimjnkrn(n+1)2n+14πn-mǃn+mǃPnmcosθsinθeimφsinθdθdφ+02π0πeikrcosθsinφjnkrn(n+1)2n+14πn-mǃn+mǃdPnmcosθdθeimφsinθdθdφاز آنجایی که eimφ=cosmφ+isinmφ به جای eimφ عبارت cosmφ+isinmφ را قرار می‌دهیم و از تعامد sinφ با cosφ داریم:
3-86 02π0πMnm1k,r,Ω.Eisinθdθdφ=±iπδm,±1jnkrn(n+1)2n+14πn-1ǃn+1ǃ0πeikrcosθ(cosθPnmcosθ+sinθdPnmcosθdθ)dθ3-87 02π0πMnm±1k,r,Ω.Eisinθdθdφ=±ijnkr2n(n+1)π(2n+1)0πeikrcosθddθ(sinθPn±1cosθ)dθاز طرفی داریم:
3-88 Pn-mx=-1mn-mǃn+mǃPnmxپس ما برای m=1 ضریب αn1 را محاسبه می‌کنیم ضریب αn,-1 به صورت مشابه به دست میآید.
3-89 Pn1cosθ=1-cos2θ12dPn1cosθdcosθ=sinθdPncosθ-sinθdθ=-dPncosθdθبا جایگذاری رابطه 3-89 در رابطه 3-87 داریم:
3-90 02π0πMnm1k,r,Ω.Eisinθdθdφ=ijnkr2n(n+1)π(2n+1)0πeikrcosθddθ(-sinθdPncosθdθ)dθبرای حل قسمت θ انتگرال بالا ؛ رابطه3-43را برای Pncosθ می‌نویسیم:
3-91 1sinθddθsinθdPncosθdθ+nn+1-0Pncosθ=0-ddθsinθdPncosθdθ=n(n+1)sinθPncosθحال با اعمال تغییر بالا در رابطه 3-90 داریم:
3-92 02π0πMnm1k,r,Ω.Eisinθdθdφ=ijnkr2n(n+1)π(2n+1)0πeikrcosθn(n+1)sinθPncosθdθ=iπ(2n+1)jnkr0πeikrcosθsinθPncosθdθطبق تعریف تابع بسل کروی داریم[31]:
3-93 jnkr=i-n20πeikrcosθPncosθsinθdθو سرانجام داریم:
3-94 02π0πMnm1k,r,Ω.Eisinθdθdφ=in+1π(2n+1)(jnkr)2اکنون سراغ مخرج رابطه 3-84 می‌رویم
3-95 02π0πMnm1k,r,Ω2sinθdθdφ=02π0πmm'jnkrjn'krsin2θnn'n'+1n+1 2n+12n'+116π2n'-m'ǃn-mǃn'+m'ǃn+mǃPnmcosθPn'm'cosθeimφe-im'φsinθdθd+02π0πjnkrjn'krnn'n'+1n+12n+12n'+116π2n'-m'ǃn-mǃn'+m'ǃn+mǃdPnmcosθdθdPn'm'cosθdθeimφe-im'φsinθdθdφاز عاملهای مشترک فاکتور میگیریم و جواب قسمت زاویه سمتی φ برابر2πδmm' است:
3-96 02π0πMnm1k,r,Ω2sinθdθdφ=2πδmm'jnkrjn'krnn'n'+1n+12n+12n'+116π2n'-mǃn-mǃn'+mǃn+mǃ 0π(m2sin2θPnmcosθPn'mcosθ+dPnmcosθdθdPn'mcosθdθ)sinθdθکه طبق رابطه 3-74 داریم:
3-97 02π0πMnm1k,r,Ω2sinθdθdφ=2πδmm'jnkrjn'krnn'n'+1n+12n+12n'+116π2n'-mǃn-mǃn'+mǃn+mǃ 0πn(n+1)PnmcosθPn'mcosθsinθdθسرانجام طبق تعامد توابع لژاندر داریم:
3-98 02π0πMnm1k,r,Ω2sinθdθdφ=2πδmm'δnn'jn2krnn+12n+14πn-mǃn+mǃnn+122n+1n+mǃn-mǃ=jn2krاکنون که صورت و مخرج به دست آمدند میتوانیم αnm را به راحتی به دست آوریم:
3-99 αn,±1=in+1π(2n+1)(jnkr)2jn2kr=in+1π(2n+1)محاسبه γnm :
به طریق مشابه ضریب دوم هم به دست میآوریم
3-100 γnm=02π0πEi.Nnm1sinθdθdφ02π0πNnm12sinθdθdφاز صورت کسر رابطه 3-100شروع می‌کنیم:
3-101 02π0πEi.Nnm1sinθdθdφ=.2π0πeikrcosθcosφsinθjnkrkr2n+14πn-mǃn+mǃn(n+1)Pnmcosθeimφsinθdθdφ+02π0πeikrcosθcosφcosθ1krd(rjnkr)dr1n(n+1)2n+14πn-mǃn+mǃdPnmdθeimφsinθdθdφ-02π0πeikrcosθsinφ1krd(rjnkr)dr1n(n+1)2n+14πn-mǃn+mǃPnmcosθsinθimeimφsinθdθdφدر این جا از eimφ=cosmφ+isinmφ استفاده می‌کنیم. پس جواب انتگرال قسمت زاویه سمتی آن πδm,±1 است. بنابراین رابطهی 3-101 به صورت زیر می باشد:
3-102 02π0πEi.Nnm1sinθdθdφ=n(n+1)2n+14πn-1ǃn+1ǃπδm,±1jnkrkr0πeikrcosθPn±1cosθsin2θdθ+1n(n+1)2n+14πn-1ǃn+1ǃπδm,±11krd(rjnkr)dr0πeikrcosθcosθdPn±1dθ+Pn±1sinθsinθdθ=∓1n(n+1)2n+14πn-1ǃn+1ǃ2n2n+12πin+1j2nkr(kr)2∓1n(n+1)2n+14πn-1ǃn+1ǃ2nn+1πin+11k2r2drjnkrdr2=∓1nn+12n+14π2nn+1πin+11k2r2[nn+1j2nkr+drjnkrdr2] و سپس مخرج را حساب می‌کنیم:
3-103 02π0πNnm12sinθdθdφ=02π0π1n(n+1)2n+14πn-mǃn+mǃn2n+12j2nkr(kr)2(Pnmcosθ)2sinθdθdφ+02π0π1nn+12n+14πn-mǃn+mǃ1k2r2drjnkrdr2[(dPnmdθ)2+m2(Pnmcosθ)2sin2θ]sinθdθdφ پس داریم:
3-104 02π0πNnm12sinθdθdφ=2πnn+12n+14πn-mǃn+mǃn2n+12j2nkr(kr)222n+1n+mǃn-mǃ+2πnn+12n+14πn-mǃn+mǃ1k2r2drjnkrdr2nn+122n+1n+mǃn-mǃ=nn+1j2nkr(kr)2+1k2r2drjnkrdr2در نتیجه داریم:
3-105 γn,±1=∓in+12n+1πبنابراین یک موج تخت قطبیده داریم که بر کرهای همگن میتابد. میدان الکتریکی تابشی بر حسب هماهنگهای کروی به صورت زیر بیان می‌شود:
3-106 Ei=n=1∞in+12n+1π[Mn,11+Mn,-11+Nn,-11-Nn,11]از طرفی میدانیم که میدان الکتریکی و مغناطیسی مستقل از هم نیستند و طبق رابطه3-4 و3-5 به هم وابسته هستند. پس با توجه به بسط میدان الکتریکی ، به راحتی میتوانیم میدان مغناطیسی را نیز بسط دهیم.
3-3-2 بسط میدان مغناطیسی موج تخت فرودی
با توجه به روابط3-28 و 3-34،∇×M=kN و ∇×N=kM و رابطه 3-59 می‌توانیم میدان مغناطیسی را محاسبه کنیم:
3-107 Hl=1iωμ∇×El=1iωμ∇×[m=-nnn=1∞αlnmMnm1kl,r,Ω+δlnmMnm3kl,r,Ω+γlnmNnm1kl,r,Ω+βlnmNnm3kl,r,Ω]در رابطه بالا اندیس l به شماره لایه نانو ساختار اشاره دارد به گونه ای که هسته l=1 ، لایهی دی الکتریک l=2 ، لایهی نانو فلز l=3 و محیط اطراف نانو کره l=4 است.
3-108 Hl=1iωμm=-nnn=1∞αlnmklNnm1kl,r,Ω+δlnmklNnm3kl,r,Ω+γlnmklMnm1kl,r,Ω+βlnmklMnm3kl,r,Ωمیدان مغناطیسی فرودی به صورت زیر است.
3-109 Hi=1iωμn=1∞in+12n+1πkl[Nn11+Nn,-11+Mn,-11-Mn11]3-3-3 استفاده از شرایط مرزی برای به دست آوردن بسط میدان الکتریکی
و مغناطیسی داخل نانوذره
در سطح مشترک بین هر لایه از نانوساختار مؤلفهی مماسی میدان الکتریکی و مغناطیسی باید پیوسته باشد.
3-110 El-El+1×r=Hl-Hl+1×r=0تعریف میکنیم:
3-111 Rnmlr=αlnmMnm1kl,r,Ω+δlnmMnm3kl,r,Ωζnmlr=γlnmNnm1kl,r,Ω+βlnmNnm3kl,r,ΩYnmlr=αlnmklNnm1kl,r,Ω+δlnmklNnm3kl,r,ΩJnmlr=γlnmklMnm1kl,r,Ω+βlnmklMnm3kl,r,Ωدر سطح مشترک بین هر لایه از نانوساختار مؤلفهی مماسی میدان الکتریکی و مغناطیسی باید پیوسته باشد. با توجه به تعامد 3-60 و 3-66 و 3-78 داریم[12]:
3-112 Rnmlrl×r=Rnml+1rl×rζnmlrl×r=ζnml+1rl×rYnmlrl×r=Ynml+1rl×rJnmlrl×r=Jnml+1rl×rاین معادلهها را برای سه سطح مشترک به کار میبریم و دوازده معادله ودوازده مجهول بدست می آید.
3-3-4 میدان الکتریکی در نقطه کوانتومی
برای ناحیه هسته میدان های الکتریکی و مغناطیسی باید متناهی باشد بنابراین از تابع بسل کروی نوع اول jnk1rکه در مبدا خوش رفتار است ، استفاده می کنیم. ضرایب تابع بسل نوع دوم nnk1r ،که در مبدا واگرا میشود را صفر قرار میدهیم. بنابراین δ1nm و β1nm صفر میشوند. در بقیه لایه ها همه ضرایب غیر صفر هستند.
3-113 E1=n,mα1nmMnm1k1,r,Ω+γ1nmNnm1k1,r,Ω3-3-5 میدان پراکنده شده
در ناحیه بیرون از کره jnk1r و nnk1r خوش رفتار هستند بنابراین برای میدان پراکنده شده از تابع هنکل کروی که هر دو تابع بسل را شامل میشود استفاده میکنیم.
3-114 Es=n,mδlnmMnm3kl,r,Ω+βlnmNnm3kl,r,Ωدر شکل زیر طرح ساختار مورد بررسی رسم شده است که در آب قرار دارد. شعاع نقطه کوانتومی a، شعاع پوسته دی الکتریک b و شعاع نانو ذره کروی c است.

شکل3-1: نانو ساختار چندلایه کروی شامل نقطه کوانتومی،
نانوپوسته فلز نجیب و جداکننده دی‌الکتریک
بنابراین ما دو ضریب مجهول در هسته، چهار ضریب مجهول در لایه دی الکتریک و چهار ضریب مجهول برای نانو پوسته فلزی و دو ضریب مجهول نیز برای میدان پراکنده شده داریم. دوازده معادله و دوازده مجهول داریم که با استفاده از نرم افزار متمتیکا این دستگاه معادلاتی را به شیوه عودی حل کردهایم. در اینجا این دستگاه معادلاتی را آوردهایم اما جواب را در پیوست گذاشتهایم
3-115
α1nmjnk1a=α2nmjnk2a+δ2nmhnk2aγ1nmk1rjnk1r'k1r=a=γ2nmk2rjnk2r'k2r=a+β2nmk2rhnk2r'k2r=aα1nmk1rjnk1r'r=a=α2nmk2rjnk2r'r=a+δ2nmk2rhnk2r'r=aγ1nmk1jnk1a=γ2nmk2jnk2a+β2nmk2hnk2aα2nmjnk2b+δ2nmhnk2b=α3nmjnk3b+δ3nmhnk3bγ2nmk2rjnk2r'k2r=b+β2nmk2rhnk2r'k2r=b=γ3nmk3rjnk3r'k3r=b+β3nmk3rhnk3r'k3r=bα2nmk2rjnk2r'r=b+δ2nmk2rhnk2r'r=b=α3nmk3rjnk3r'r=b+δ3nmk3rhnk3r'r=bγ2nmk2jnk2b+β2nmk2hnk2b=γ3nmk3jnk3b+β3nmk3hnk3bα3nmjnk3c+δ3nmhnk3c=α4nmjnk4c+δ4nmhnk4cγ3nmk3rjnk3r'k3r=c+β3nmk3rhnk3r'k3r=c=γ4nmk4rjnk4r'k4r=c+β4nmk4rhnk4r'k4r=cα3nmk3rjnk3r'r=c+δ3nmk3rhnk3r'r=c=α4nmk4rjnk4r'r=c+δ4nmk4rhnk4r'r=cγ3nmk3jnk3c+β3nmk3hnk3c=γ4nmk4jnk4c+β4nmk4hnk4cما این دوازده معادله را به صورت عودی در نرم افزار متمتیکا حل کردیم و دوازده ضریب به‌دست آوده‌ایم. در پیوست ب این دوازده ضریب را آورده‌ایم. از این ضرایب برای محاسبه میدان الکتریکی Elxدر هر نقطه x از هر لایهی l این نانو ساختار چند لایه استفاده میشود. بنابراین با محاسبه ElxEi افزایش میدان الکتریکی نسبت به میدان فرودی حاصل میشود. این ضرایب بر حسب توابع بسل کروی، توابع بسل – ریکاتی و مشتقات آنها و همچنین بر حسب عدد موج می‌باشند. که خود عدد موج به تابع دی الکتریک و طول موج بستگی دارد. بنابراین میدان الکترومغناطیسی به طول موج، ضخامت لایه ها، جنس فلز استفاده شده و به تابع دی الکتریک مربوط میباشد. بنابراین ما افزایش میدان الکتریکی را به عنوان تابعی از این متغیر های ذکر شده در فصل چهارم آوردهایم. البته ذکر این نکته ضروری است که برای محاسبه میدان جمع بر روی تمام n ها است ولی در محاسبات رایانهای به دلیل محدودیتهای این گونه از محاسبات بایستی تعداد محدودی از n ها مورد استفاده قرار گیرد[33].
3-116 nmax=Int(x+4x13+2)در رابطه 3-116، nmax تعداد n های بیشینه در محاسبه عددی میدان الکتریکی است، x پارامتر اندازه است و برابراست با:
3-117 x=kcدر رابطهی3-117،k عدد موج و c شعاع نانو ذره کروی میباشد. مقدار عدد موج از رابطه زیر به دست میآید:
3-118 k=ε2πλدر اینجا ε ثابت دیالکتریک محیط اطراف است. محیط اطراف چون آب است ثابت دی الکتریک آب را قرار دادیم مقدار آن برابر 77/1 میباشد[34].
برای نمونه ما در اینجا ضریب γnm1 را میآوریم:
γnm1={(in+1π(2n+1)k1k22k32k4(hnk4ck4rjnk4r'r=c-k4rhnk4r'r=cjnk4c)( hnk2ak2rjnk2r'r=a-k2rhnk2r'r=ajnk2a)(hnk3bk3rjnk3r'r=b-k3rhnk3r'r=bjnk3b))/(-k24k1rjnk1r'r=a( hnk2bjnk2a- hnk2ajnk2b)(k42hnk4c(-k3rhnk3r'r=ck3rjnk3r'r=b+k3rhnk3r'r=bk3rjnk3r'r=c)+k32k4rhnk4r'r=c(hnk3ck3rjnk3r'r=b-k3rhnk3r'r=bjnk3c))+k12k32(k2rhnk2r'r=bk2rjnk2r'r=a-k2rhnk2r'r=ak2rjnk2r'r=b)jnk1a(k42hnk4c(-hnk3bk3rjnk3r'r=c+k3rhnk3r'r=cjnk3b)+k32k4rhnk4r'r=c(-(hnk3cjnk3b+hnk3bjnk3c))+k22(-k12k42hnk4c(k3rhnk3r'r=ck3rjnk3r'r=b-k3rhnk3r'r=bk3rjnk3r'r=c)jnk1a( hnk2bk2rjnk2r'r=a-k2rhnk2r'r=ajnk2b))-k34k4rhnk4r'r=ck1rjnk1r'r=a( hnk2ak2rjnk2r'r=b-k2rhnk2r'r=bjnk2a)(hnk3cjnk3b-hnk3bjnk3c)+k32(-k42hnk4ck1rjnk1r'r=a( hnk2ak2rjnk2r'r=b-k2rhnk2r'r=bjnk2a)(hnk3bk3rjnk3r'r=c-k3rhnk3r'r=cjnk3b)+k12hnk4cjnk1a(hnk2bk2rjnk2r'r=a-k2rhnk2r'r=ajnk2b)(hnk3ck3rjnk3r'r=b-k3rhnk3r'r=bjnk3c))))},فصل چهارم:محاسبات عددی و نتایجفصل چهارم

شکل4-1:نمودارتغییرات میدان الکتریکی بر حسب ضخامت لایه دی الکتریک در
ضخامتهای مختلف نانو پوسته مس درطول موج800 نانومترطول موج نور فرودی 800 نانومتر است، ثابت دی الکتریک نقطه کوانتومی9/6 ε1=، ثابت دی الکتریک سیلیکا 31/2 ε2= [12] وثابت دی الکتریک نانو پوسته مس به ضخامتش بستگی دارد. برای ضخامت nm1 ، nm2، nm3وnm4نانوپوسته مس ثابت دی الکتریک به ترتیب برابر است با ε3=-23/13+15/03i ، ε3=-28+19/69i ، ε3=-29/76+20/89i و ε3=-30/43+21/34i است. ثابت دی الکتریک محیط اطراف یعنی آب برابر77/1 است[34].
با کاهش ضخامت نانو پوسته فلزمس از nm4 تا nm2 میدان الکتریکی افزایش می یابد. اما با کاهش ضخامت نانوپوسته از nm2 بهnm1 میدان الکتریکی کاهش مییابد. با کاهش ضخامت نانو پوسته فلزی جذب کاهش می یابد. زیرا همان طور که در نمودار قسمت موهومی نانوپوسته فلز مس در فصل دوم شکل2-4دیده میشود، با کاهش ضخامت نانو پوسته فلزی قسمت موهومی تابع دی الکتریک و درنتیجه جذب کاهش می یابد. با کاهش جذب، میدان الکتریکی بیشتر میشود. عامل دیگری که در میدان الکتریکی درون دی الکتریک تاثیر میگذارد تشدید پلاسمون سطحی است که با کاهش ضخامت نانو پوسته فلزی به سمت طول موجهای کوتاهتر جابجا میشود. در نتیجه در ضخامت یک نانو متر افزایش میدان الکتریکی به دلیل کاهش پلاسمونهای سطحی، کمتر از ضخامت دو و سه نانومتر است. به عبارت دیگر تاثیر کاهش پلاسمونهای سطحی از تاثیر کاهش جذب بیشتر است در نتیجه میدان الکتریکی در ضخامت 2 نانومتر بیشترین مقدار را دارد[37].

پژوهش

دسته‌بندی نشده

No description. Please update your profile.

LEAVE COMMENT

نظرات (0)
امکان ثبت نظر جدید برای این مطلب وجود ندارد.