پژوهش user6-721

یکشنبه 7 آبان 1396 ساعت 18:08
تقدیم به: پدر بزرگوار و مادر مهربانمآنان که از خواستههایشان گذشتند،                 سختیها را به جان خریدندو خود را سپر بلای مشکلات و ناملایمات کردندتا من به جایگاهی که اکنون در آن ایستادهام برسم این پایان نامه را به پدر و مادرم، اساتید […]

  

سایت دانلود پژوهش ها و منابع علمی

سایت دانلود پژوهش ها و منابع علمی دانشگاهی فنی تخصصی همه رشته ها – این سایت صرفا جهت کمک به گردآوری داده ها برای نگارش پژوهش های علمی و صرفه جویی در وقت پژوهشگران راه اندازی شده است

پژوهش user6-721

پژوهش user6-721

پژوهش user6-721

نمایش توانایی کنترل نحوه قرارگیری اتم‌ها توسط شرکت IBM. 1990
کشف نانو لوله‌های کربنی 1991
تولید اولین نقاط کوانتومی با کیفیت بالا 1993
ساخت اولین نانوترانزیستور 1997
ساخت اولین موتور DNA 2000
ساخت یک مدل آزمایشگاهی سلول سوخت با استفاده از نانولولهها 2001
شلوارهای ضدلک به بازار آمد 2002
تولید نمونه‌های آزمایشگاهی نانوسلول‌های خورشیدی 2003
تحقیق و توسعه برای پیشرفت در عرصه نانوتکنولوژی ادامه دارد. 2004
اهمیت نانوتکنولوژیتجربه نشان داده است، ویژگی‌های یک ماده خالص، تا حد قابل قبولی ثابت است و این امر سبب میشود که ما بتوانیم مواد را از روی خواصشان شناسایی کنیم. اما یافته‌های دانشمندان نشان می‌دهد که یک ماده در اندازه نانومتر ویژگی‌های متفاوتی با ذرات بزرگتر خود خواهند داشت. این در حالی است که کوچک‌کردن ذرات، یک تغییر فیزیکی است و ما انتظار داریم که با این تغییر فیزیکی، ویژگی‌های اصلی ماده تغییر نکند.
کاربردهای نانوتکنولوژینانو تکنولوژی توانمندی تولید مواد، ابزارها و سیستمهای جدید با خواص برتر در مقیاس یک تا یکصدم نانومتر (یکمیلیاردم متر) میباشد که در دهه گذشته این حوزه چند رشتهای توانسته است جایگاه ویژه ای را در بخش تحقیقات و صنعت در زمینههای مختلف علوم مهندسی و پزشکی به خود اختصاص دهد. اساس نانوفناوری کار در این سطوح برای ایجاد ساختارهای بزرگتر و سازماندهی مولکولی جدید است. این نانوساختارها که از کوچکترین بلوکهای ساختمانی شناخته شده، ساخته میشوند و کوچکترین اشیاء ساخت دست بشر بوده است و دارای خصوصیات و رفتار فیزیکی، شیمیایی و زیستی جدیدی هستند.
هدف نانوتکنولوژی آگاهی و بهره گیری از این خصوصیات و استفاده موثر از آنهاست. هم اکنون کنترل خصوصیات اجسام نانو مقیاس، دارای نقش مهمی در شاخه های مختلف همچون: فیزیک، شیمی علم مواد، زیست شناسی، پزشکی، مهندسی هستهای و شبیه سازی کامپیوتری است. ثابت شده است نانولولههای کربنی ده برابر مقاومتر و مستحکمتر از فولاد بوده در حالیکه وزن آن یک ششم فولاد میباشد همچنین با نانو ذرات میتوان سلولهای سرطانی را مورد هدف قرار داد و آنها را از بین برد. سیستمهای با مقیاس نانو این توانایی را دارند که مسافرتهای مافوق صوت را کم هزینه تر و بازده کامپیوترها را میلیونها برابر افزایش دهند. لذا محققین برای تولید محصولات مبتنی بر مقیاس نانومتری بهدنبال روشهای سیتماتیک میروند. اساس همه مواد و سیستمهای طبیعی برپایه مقیاس نانومتری است. کنترل و تغییرات مواد در سطوح مولکولی به این معنی است که میتوان با تعیین خصوصیات جدید برای مواد در این مقیاس، تولید تمام اشیاء ساخت بشر را از خودروها، تایرها، مدارات کامپیوتری گرفته تا داروها و جایگزینی بافتها را تحت تاثیر قرارداد و باعث اختراع و ایجاد اشیاء جدید شد. نانو فناوری در قرن بیست و یکم شاخهای استراتژیک از علوم و مهندسی خواهد بود که فناوریهای مورد استفاده کنونی در ساخت وتولید بسیاری از محصولات را در شاخههای مختلف از نو پیریزی خواهد کرد و در تمام زوایا و بخشهای مختلف اقتصادی، فرهنگی، اجتماعی، سیاسی، نظامی و... نفوذ میکند و زندگی انسان را به طور گسترده تحت الشعاع قرار خواهد داد. چراکه علم به مقیاس نانو، افق فردا را ترسیم خواهد کرد. با عنایت به موارد فوق میتوان به کاربردهای نانو بر اساس تقسمبندی زیر اشاره کرد:
صنایع هوانوردی و اتوماسیون:مواد تقویت شده با نانو ذرات برای بدنههای سبکتر، تایرهای تقویت شده با نانوذرهها با فرسایش کمتر و قابلیت بازیافت، نقاشیهای خارجی که نیاز به شستشو ندارند، پلاستیکهای غیرقابل اشتعال و ارزان قیمت و همچنین سیستمهای الکترونیکی برای کنترل.
الکترونیک وارتباطات :سیستم های ضبط چند رسانهای با استفاده از نانو لایهها، صفحههای نمایش مسطح، فناوری سیستمهای بیسیم، افزایش هزاران برابری در ظرفیت و سرعت پردازش دادهها با قیمت پائین تر و بازدهی بیشتر.
مواد شیمیایی و مواد:کاتالیزورهایی که بازده انرژی واکنشهای شیمیایی را بالا برده و بازده عمل احتراق را در وسایط نقلیه بهبود میبخشد (آلودگی کمتر) ، دریل و ابزارهای برش بسیار سخت و غیرشکننده و همچنین سیالهای مغناطیسی هوشمند.
درمان، بهداشت و علوم زیستی:داروهای نانو ساختاری جدید، سیستمهای ژنتیکی و دارورسانی به مکان تعیین شده در بدن (داروهای هوشمند) و موادی برای بازیافت و بازسازی بافتها و استخوانهای بدن.
ساخت وتولید : 
فرایندها و ابزارهای جدید برای کنترل مواد در اندازههای اتمی، مهندسی ابزارسازی مبتنی بر نسلهای جدیدی از میکروسکوپها و تکنیکهای اندازه گیری.
فناوریهای انرژی: 
انواع نسل جدید باتریها، سلولهای خورشیدی، ذخیره هیدروژن به عنوان سوخت پاکیزه و صرفه جویی در انرژی.
کاوش درفضا : 
وسایل فضایی کم وزن، تولید و مدیریت اقتصادیتر انرژی و سیستمهای روباتیک خیلی ریز و توانا.
محیط زیست : 
غشای جدا کننده برای فیلتر کردن آلودگیها و یا حتی نمک از آب، جدا کنندههای نانو ساختاری برای خارج کردن آلودگیهای ناشی از پسابهای صنعتی و کاهش منابع آلودگی و ایجاد فرصتهای بیشتر برای بازیافت.
امنیت ملی : 
آشکارسازها و سم زداهای عوامل زیستی و شیمیایی، مدارات الکترونیکی بسیار کار آمد، سیستمهای امنیتی ظریف و لباسهای ضد گلوله و هوشمند.
روش ساخت میکرولولههاساخت میکرولولههای با قطری در ابعاد میکرو و طول زیاد کاری بس دشوار است. برای سوراخهایی با دقت بالا، از روش ماشینکاری میکرو تخلیهی الکتریکی استفاده میشود. اما در این روش تنها میتوان سوراخهایی با عمق 10 برابر قطر را تولید کرد. روش دیگر برای ایجاد سوراخ در میکرولولهها، استفاده از الکترودهای تو خالی و یا الکترودهای لولهای است. البته در این روش سوراخها نمیتوانند کوچکتر از قطر 0.3 میلیمتر شوند. این امر به دلیل دشواری ساخت الکترودهای با قطر کوچک است که سختی لازم را ندارند. کو و همکارانش ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>Kuo</Author><Year>1991</Year><RecNum>74</RecNum><DisplayText>[1]</DisplayText><record><rec-number>74</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">74</key></foreign-keys><ref-type name="Conference Proceedings">10</ref-type><contributors><authors><author>Kuo, C-L</author><author>Masuzawa, T</author><author>Fujino, M</author></authors></contributors><titles><title>A micropipe fabrication process</title><secondary-title>Micro Electro Mechanical Sys--s, 1991, MEMS&apos;91, Proceedings. An Investigation of Micro Structures, Sensors, Actuators, Machines and Robots. IEEE</secondary-title></titles><pages>80-85</pages><dates><year>1991</year></dates><publisher>IEEE</publisher><isbn>0879426411</isbn><urls></urls></record></Cite></EndNote>[1] در سال 1991 روشی ابداع کردند که تا حدی این مشکلات بر طرف شد. در این روش ابتدا یک هستهی فلزی ساخته میشود. یک لایهی نازک بر روی سطح هسته کشیده میشود. یک لایهی دیگر از فلز با روش الکتریکی-شیمیایی روی آن با روش رسوبی کشیده میشود (شکل 1-2). بیرون میکرولوله به اندازهی دلخواه ماشینکاری میشود و پس از آن هستهی داخلی از درون میکرولوله خارج میشود. روش ساخت در این روش در شکل 1-1 نشان داده شده است.

مراحل ساخت میکرولولهها
رسوب فلز در روش الکترو-شیمیاییپیشینهی تحقیقمیکرولولهها و نانو لولهها کاربردهای بسیار گستردهای در زمینه میکرو/ نانو سیستمهای الکتریکی- مکانیکی و نانو تکنولوژی دارند. از جمله این کاربردها می توان به حسگرهای زیستی، میکروسکوپ های نیروی اتمی، محرک ها، مخازن سیالی، انتقال سیال و دارو رسانی اشاره کرد. علت کاربرد فراوان میکرو لوله ها، هندسه تو خالی و خواص مکانیکی بسیار خوب آنهاستبا گسترش تکنولوژیهای ساخت، سایز لولهها همواره در حال کوچک شدن است و به لولههایی به قطر 1 تا 100 میکرومتر رسیده است. همانند لولهها در اندازه ماکرو، بررسی ارتعاشات و پایداری در طراحی میکرولولهها لازم و ضروری است. این امر سبب شده، ارتعاشات و پایداری در مقیاس میکرو به یکی از بزرگترین علاقمندیها و موضوعات چالش برانگیز محققان تبدیل شود. پارامتری که نقش مهمی در ساختارهایی با ابعاد میکرون و زیر میکرون ایفا میکند اثرات اندازه است. در دو دههی گذشته تحقیقات تجربی نشان داده است که رفتار های استاتیکی و دینامیکی در ابعاد میکرو و نانو وابسته به سایز هستند و این وابستگی به سایز خود تابعی از جنس ماده است. در تست پیچش سیم های مسی توسط فلک و همکارانش در سال 1994، مشاهده شد که سفتی پیچشی با کاهش قطر افزایش می یابد ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>Fleck</Author><Year>1994</Year><RecNum>13</RecNum><DisplayText>[2]</DisplayText><record><rec-number>13</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">13</key></foreign-keys><ref-type name="Journal Article">17</ref-type><contributors><authors><author>Fleck, NA</author><author>Muller, GM</author><author>Ashby, MF</author><author>Hutchinson, JW</author></authors></contributors><titles><title>Strain g--ient plasticity: theory and experiment</title><secondary-title>Acta Metallurgica et Materialia</secondary-title></titles><periodical><full-title>Acta Metallurgica et Materialia</full-title></periodical><pages>475-487</pages><volume>42</volume><number>2</number><dates><year>1994</year></dates><isbn>0956-7151</isbn><urls></urls></record></Cite></EndNote>[2]. در این آزمایش نشان داده شد که سفتی پیچشی سیم های با قطر 12 میکرومتر، در حدود 3 برابر سیم های با قطر 170 میکرومتر است. استولکن و ایوانز در سال 1998 افزایش قابل توجهی را در سفتی خمشی میکرو تیرهای نازک از جنس نیکل به دلیل کاهش ضخامت آنها گزارش دادند ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>Stölken</Author><Year>1998</Year><RecNum>24</RecNum><DisplayText>[3]</DisplayText><record><rec-number>24</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">24</key></foreign-keys><ref-type name="Journal Article">17</ref-type><contributors><authors><author>Stölken, JS</author><author>Evans, AG</author></authors></contributors><titles><title>A microbend test method for measuring the plasticity length scale</title><secondary-title>Acta Materialia</secondary-title></titles><periodical><full-title>Acta Materialia</full-title></periodical><pages>5109-5115</pages><volume>46</volume><number>14</number><dates><year>1998</year></dates><isbn>1359-6454</isbn><urls></urls></record></Cite></EndNote>[3]. در تست خمش میکرو تیر های از جنس پلیمر ایپوکسی در سال 2003 توسط لم و همکارانش ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>Lam</Author><Year>2003</Year><RecNum>11</RecNum><DisplayText>[4]</DisplayText><record><rec-number>11</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">11</key></foreign-keys><ref-type name="Journal Article">17</ref-type><contributors><authors><author>Lam, DCC</author><author>Yang, F</author><author>Chong, ACM</author><author>Wang, J</author><author>Tong, P</author></authors></contributors><titles><title>Experiments and theory in strain g--ient elasticity</title><secondary-title>Journal of the Mechanics and Physics of Solids</secondary-title></titles><periodical><full-title>Journal of the Mechanics and Physics of Solids</full-title></periodical><pages>1477-1508</pages><volume>51</volume><number>8</number><dates><year>2003</year></dates><isbn>0022-5096</isbn><urls></urls></record></Cite></EndNote>[4]، مشاهده شد که با کاهش قطر این تیر ها از 115 به 20 میکرومتر سفتی خمشی آنها 2.4 برابر افزایش پیدا می کرد. مک فرلاند و کلتون در سال 2005 با آزمایشی مشاهده کردند که تئوری های مکانیک کلاسیک نمی تواند سفتی یک تیر دو سر گیردار را پیش بینی نماید و نتایج آزمایش تفاوت قابل توجهی با تئوری کلاسیک داشت ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>McFarland</Author><Year>2005</Year><RecNum>5</RecNum><DisplayText>[5]</DisplayText><record><rec-number>5</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">5</key></foreign-keys><ref-type name="Journal Article">17</ref-type><contributors><authors><author>McFarland, Andrew W</author><author>Colton, Jonathan S</author></authors></contributors><titles><title>Role of material microstructure in plate stiffness with relevance to microcantilever sensors</title><secondary-title>Journal of Micromechanics and Microengineering</secondary-title></titles><periodical><full-title>Journal of Micromechanics and Microengineering</full-title></periodical><pages>1060</pages><volume>15</volume><number>5</number><dates><year>2005</year></dates><isbn>0960-1317</isbn><urls></urls></record></Cite></EndNote>[5]. تئوری های مرسوم مکانیک محیط های پیوسته ی کلاسیک نمی توانستند این وابستگی به سایز رفتار های مکانیکی را پیش بینی نمایند. خوشبختانه تئوری های غیرکلاسیک مرتبهی بالاتر مانند تئوری تنش کوپل تئوری گرادیان کرنش، تئوری اثر سطح و تئوری غیر موضعی توسط محققان و دانشمندان معرفی و مورد استفاده قرار گرفت تا اثرات اندازه را بتوان مورد بررسی و مطالعه قرار داد.
در اوایل دههی 60 میلادی میندلین و تیرستن ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>Mindlin</Author><Year>1962</Year><RecNum>25</RecNum><DisplayText>[6]</DisplayText><record><rec-number>25</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">25</key></foreign-keys><ref-type name="Journal Article">17</ref-type><contributors><authors><author>Mindlin, RD</author><author>Tiersten, HF</author></authors></contributors><titles><title>Effects of couple-stresses in linear elasticity</title><secondary-title>Archive for Rational Mechanics and Analysis</secondary-title></titles><periodical><full-title>Archive for Rational Mechanics and Analysis</full-title></periodical><pages>415-448</pages><volume>11</volume><number>1</number><dates><year>1962</year></dates><isbn>0003-9527</isbn><urls></urls></record></Cite></EndNote>[6]، توپین ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>Toupin</Author><Year>1962</Year><RecNum>27</RecNum><DisplayText>[7]</DisplayText><record><rec-number>27</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">27</key></foreign-keys><ref-type name="Journal Article">17</ref-type><contributors><authors><author>Toupin, RA</author></authors></contributors><titles><title>Elastic materials with couple-stresses</title><secondary-title>Archive for Rational Mechanics and Analysis</secondary-title></titles><periodical><full-title>Archive for Rational Mechanics and Analysis</full-title></periodical><pages>385-414</pages><volume>11</volume><number>1</number><dates><year>1962</year></dates><isbn>0003-9527</isbn><urls></urls></record></Cite></EndNote>[7] و کویتر ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>Koiter</Author><Year>1964</Year><RecNum>26</RecNum><DisplayText>[8]</DisplayText><record><rec-number>26</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">26</key></foreign-keys><ref-type name="Conference Proceedings">10</ref-type><contributors><authors><author>Koiter, WT</author></authors></contributors><titles><title>Couple stresses in the theory of elasticity, I and II</title><secondary-title>Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. B</secondary-title></titles><pages>17-29</pages><volume>67</volume><dates><year>1964</year></dates><urls></urls></record></Cite></EndNote>[8] تئوری تنش کوپل را پایه گذاری کردند. در معادلات متشکلهی این تئوری دو پارامتر طولی مرتبه بالا علاوه بر دو ثابت لمهی کلاسیک داشت. ژو و لی در سال 2001 ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>Zhou</Author><Year>2001</Year><RecNum>28</RecNum><DisplayText>[9]</DisplayText><record><rec-number>28</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">28</key></foreign-keys><ref-type name="Journal Article">17</ref-type><contributors><authors><author>Zhou, SJ</author><author>Li, ZQ</author></authors></contributors><titles><title>Length scales in the static and dynamic torsion of a circular cylindrical micro-bar</title><secondary-title>Journal of Shandong university of technology</secondary-title></titles><periodical><full-title>Journal of Shandong university of technology</full-title></periodical><pages>401-407</pages><volume>31</volume><number>5</number><dates><year>2001</year></dates><urls></urls></record></Cite></EndNote>[9] از این تئوری برای تحلیل یک میکرو بار تحت بارگذاری پیچشی استفاده کردند. همچنین کانگ و زا در سال 2007 ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>Kang</Author><Year>2007</Year><RecNum>29</RecNum><DisplayText>[10]</DisplayText><record><rec-number>29</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">29</key></foreign-keys><ref-type name="Journal Article">17</ref-type><contributors><authors><author>Kang, X</author><author>Xi, ZW</author></authors></contributors><titles><title>Size effect on the dynamic characteristic of a micro beam based on cosserat theory</title><secondary-title>Journal of Mechanical Strength</secondary-title></titles><periodical><full-title>Journal of Mechanical Strength</full-title></periodical><pages>1-4</pages><volume>29</volume><number>1</number><dates><year>2007</year></dates><urls></urls></record></Cite></EndNote>[10] فرکانسهای تشدید میکروتیر را بررسی کردند و گزارش وابستگی به اندازهی این فرکانسها را دادند.
یانگ و همکارانش ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>Yang</Author><Year>2002</Year><RecNum>30</RecNum><DisplayText>[11]</DisplayText><record><rec-number>30</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">30</key></foreign-keys><ref-type name="Journal Article">17</ref-type><contributors><authors><author>Yang, FACM</author><author>Chong, ACM</author><author>Lam, DCC</author><author>Tong, P</author></authors></contributors><titles><title>Couple stress based strain g--ient theory for elasticity</title><secondary-title>International Journal of Solids and Structures</secondary-title></titles><periodical><full-title>International Journal of Solids and Structures</full-title></periodical><pages>2731-2743</pages><volume>39</volume><number>10</number><dates><year>2002</year></dates><isbn>0020-7683</isbn><urls></urls></record></Cite></EndNote>[11] در سال 2002 تئوری تنش کوپل را برای سهولت در استفاده، بهبود بخشیدند و تعداد پارامترهای طولی مرتبه بالای آن را به یکی کاهش دادند. کنگ و همکارانش ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>Kong</Author><Year>2008</Year><RecNum>42</RecNum><DisplayText>[12]</DisplayText><record><rec-number>42</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">42</key></foreign-keys><ref-type name="Journal Article">17</ref-type><contributors><authors><author>Kong, Shengli</author><author>Zhou, Shenjie</author><author>Nie, Zhifeng</author><author>Wang, Kai</author></authors></contributors><titles><title>The size-dependent natural frequency of Bernoulli–Euler micro-beams</title><secondary-title>International Journal of Engineering Science</secondary-title></titles><periodical><full-title>International Journal of Engineering Science</full-title></periodical><pages>427-437</pages><volume>46</volume><number>5</number><dates><year>2008</year></dates><isbn>0020-7225</isbn><urls></urls></record></Cite></EndNote>[12] و ما و همکارانش ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>Ma</Author><Year>2008</Year><RecNum>43</RecNum><DisplayText>[13]</DisplayText><record><rec-number>43</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">43</key></foreign-keys><ref-type name="Journal Article">17</ref-type><contributors><authors><author>Ma, HM</author><author>Gao, X-L</author><author>Reddy, JN</author></authors></contributors><titles><title>A microstructure-dependent Timoshenko beam model based on a modified couple stress theory</title><secondary-title>Journal of the Mechanics and Physics of Solids</secondary-title></titles><periodical><full-title>Journal of the Mechanics and Physics of Solids</full-title></periodical><pages>3379-3391</pages><volume>56</volume><number>12</number><dates><year>2008</year></dates><isbn>0022-5096</isbn><urls></urls></record></Cite></EndNote>[13] در سال 2008 از تئوریهای اولر برنولی و تیموشنکو به فرم غیرکلاسیک همراه با تئوری تنش کوپل برای بررسی میکروتیر استفاده کردند. اصغری و همکارانش ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>Asghari</Author><Year>2010</Year><RecNum>44</RecNum><DisplayText>[14]</DisplayText><record><rec-number>44</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">44</key></foreign-keys><ref-type name="Journal Article">17</ref-type><contributors><authors><author>Asghari, M</author><author>Kahrobaiyan, MH</author><author>Ahmadian, MT</author></authors></contributors><titles><title>A nonlinear Timoshenko beam formulation based on the modified couple stress theory</title><secondary-title>International Journal of Engineering Science</secondary-title></titles><periodical><full-title>International Journal of Engineering Science</full-title></periodical><pages>1749-1761</pages><volume>48</volume><number>12</number><dates><year>2010</year></dates><isbn>0020-7225</isbn><urls></urls></record></Cite></EndNote>[14] در سال 2010 با بهرهگیری از تئوری تیموشنکو همراه با کرنش غیرخطی وون-کارمن و تئوری تنش کوپل، ارتعاشات غیر خطی میکروتیرها را بررسی کردند. همچنین جمهزاده و همکارانش ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>Jomehzadeh</Author><Year>2011</Year><RecNum>45</RecNum><DisplayText>[15]</DisplayText><record><rec-number>45</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">45</key></foreign-keys><ref-type name="Journal Article">17</ref-type><contributors><authors><author>Jomehzadeh, E</author><author>Noori, HR</author><author>Saidi, AR</author></authors></contributors><titles><title>The size-dependent vibration analysis of micro-plates based on a modified couple stress theory</title><secondary-title>Physica E: Low-dimensional Sys--s and Nanostructures</secondary-title></titles><periodical><full-title>Physica E: Low-dimensional Sys--s and Nanostructures</full-title></periodical><pages>877-883</pages><volume>43</volume><number>4</number><dates><year>2011</year></dates><isbn>1386-9477</isbn><urls></urls></record></Cite></EndNote>[15] در سال 2011 از تئوری تنش کوپل برای بررسی میکروورقها استفاده کردهاند.
وانگ ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>Wang</Author><Year>2010</Year><RecNum>39</RecNum><DisplayText>[16]</DisplayText><record><rec-number>39</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">39</key></foreign-keys><ref-type name="Journal Article">17</ref-type><contributors><authors><author>Wang, L</author></authors></contributors><titles><title>Size-dependent vibration characteristics of fluid-conveying microtubes</title><secondary-title>Journal of Fluids and Structures</secondary-title></titles><periodical><full-title>Journal of Fluids and Structures</full-title></periodical><pages>675-684</pages><volume>26</volume><number>4</number><dates><year>2010</year></dates><isbn>0889-9746</isbn><urls></urls></record></Cite></EndNote>[16] و زا و وانگ در سال 2010 ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>Xia</Author><Year>2010</Year><RecNum>41</RecNum><DisplayText>[17]</DisplayText><record><rec-number>41</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">41</key></foreign-keys><ref-type name="Journal Article">17</ref-type><contributors><authors><author>Xia, W</author><author>Wang, L</author></authors></contributors><titles><title>Microfluid-induced vibration and stability of structures modeled as microscale pipes conveying fluid based on non-classical Timoshenko beam theory</title><secondary-title>Microfluidics and nanofluidics</secondary-title></titles><periodical><full-title>Microfluidics and nanofluidics</full-title></periodical><pages>955-962</pages><volume>9</volume><number>4-5</number><dates><year>2010</year></dates><isbn>1613-4982</isbn><urls></urls></record></Cite></EndNote>[17] و آهنگر و همکارانش ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>Ahangar</Author><Year>2011</Year><RecNum>40</RecNum><DisplayText>[18]</DisplayText><record><rec-number>40</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">40</key></foreign-keys><ref-type name="Journal Article">17</ref-type><contributors><authors><author>Ahangar, Sonia</author><author>Rezazadeh, Ghader</author><author>Shabani, Rasool</author><author>Ahmadi, Goodarz</author><author>Toloei, Alireza</author></authors></contributors><titles><title>On the stability of a microbeam conveying fluid considering modified couple stress theory</title><secondary-title>International Journal of Mechanics and Materials in Design</secondary-title></titles><periodical><full-title>International Journal of Mechanics and Materials in Design</full-title></periodical><pages>327-342</pages><volume>7</volume><number>4</number><dates><year>2011</year></dates><isbn>1569-1713</isbn><urls></urls></record></Cite></EndNote>[18] در سال 2011 از تئوری های اولر برنولی و تیموشنکو برای بررسی میکرولولهی حاوی جریان با استفاده از تئوری تنش کوپل بهره بردند و مشاهده کردند فرکانس خطی وابسته به اندازه است. یانگ و همکارانش ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>Yang</Author><Year>2014</Year><RecNum>49</RecNum><DisplayText>[19]</DisplayText><record><rec-number>49</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">49</key></foreign-keys><ref-type name="Journal Article">17</ref-type><contributors><authors><author>Yang, Tian-Zhi</author><author>Ji, Shude</author><author>Yang, Xiao-Dong</author><author>Fang, Bo</author></authors></contributors><titles><title>Microfluid-induced nonlinear free vibration of microtubes</title><secondary-title>International Journal of Engineering Science</secondary-title></titles><periodical><full-title>International Journal of Engineering Science</full-title></periodical><pages>47-55</pages><volume>76</volume><dates><year>2014</year></dates><isbn>0020-7225</isbn><urls></urls></record></Cite></EndNote>[19] در سال 2014 ارتعاشات غیرخطی میکرولولهی حاوی جریان را با تئوری تنش کوپل بررسی کردند.

تئوری گرادیان کرنش حالت عمومی تنش کوپل است. در مقایسه با تئوری تنش کوپل، تئوری گرادیان کرنش هم بخش متقارن و هم بخش پادمتقارن تغییرات کرنش مرتبه بالا را شامل میشود. این تئوری در ابتدا توسط میدلین ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>Mindlin</Author><Year>1965</Year><RecNum>10</RecNum><DisplayText>[20]</DisplayText><record><rec-number>10</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">10</key></foreign-keys><ref-type name="Journal Article">17</ref-type><contributors><authors><author>Mindlin, Raymond David</author></authors></contributors><titles><title>Second g--ient of strain and surface-tension in linear elasticity</title><secondary-title>International Journal of Solids and Structures</secondary-title></titles><periodical><full-title>International Journal of Solids and Structures</full-title></periodical><pages>417-438</pages><volume>1</volume><number>4</number><dates><year>1965</year></dates><isbn>0020-7683</isbn><urls></urls></record></Cite></EndNote>[20] در سال 1965 پایه گذاری شد. فلک و هوتچینسون ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>Fleck</Author><Year>2001</Year><RecNum>52</RecNum><DisplayText>[21, 22]</DisplayText><record><rec-number>52</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">52</key></foreign-keys><ref-type name="Journal Article">17</ref-type><contributors><authors><author>Fleck, NA</author><author>Hutchinson, JW</author></authors></contributors><titles><title>A reformulation of strain g--ient plasticity</title><secondary-title>Journal of the Mechanics and Physics of Solids</secondary-title></titles><periodical><full-title>Journal of the Mechanics and Physics of Solids</full-title></periodical><pages>2245-2271</pages><volume>49</volume><number>10</number><dates><year>2001</year></dates><isbn>0022-5096</isbn><urls></urls></record></Cite><Cite><Author>Fleck</Author><Year>1997</Year><RecNum>53</RecNum><record><rec-number>53</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">53</key></foreign-keys><ref-type name="Journal Article">17</ref-type><contributors><authors><author>Fleck, NA</author><author>Hutchinson, JW</author></authors></contributors><titles><title>Strain g--ient plasticity</title><secondary-title>Advances in applied mechanics</secondary-title></titles><periodical><full-title>Advances in applied mechanics</full-title></periodical><pages>295-361</pages><volume>33</volume><dates><year>1997</year></dates><isbn>0065-2156</isbn><urls></urls></record></Cite></EndNote>[21, 22] این تئوری را را بازنویسی و به نام گرادیان کرنش نامگذاری کردند. در تئوری گرادیان کرنش تانسور گرادین کرنش به دو تانسور گرادیان اتساع و گرادیان چرخش تجزیه میشود که تئوری تنش کوپل آنها را شامل نمیشد. بنابراین این تئوری 5 ثابت اضافی طول و 2 پارامتر کلاسیک ماده را برای مواد الاستیک همگن لازم داشت. لم و همکارانش ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>Lam</Author><Year>2003</Year><RecNum>11</RecNum><DisplayText>[4]</DisplayText><record><rec-number>11</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">11</key></foreign-keys><ref-type name="Journal Article">17</ref-type><contributors><authors><author>Lam, DCC</author><author>Yang, F</author><author>Chong, ACM</author><author>Wang, J</author><author>Tong, P</author></authors></contributors><titles><title>Experiments and theory in strain g--ient elasticity</title><secondary-title>Journal of the Mechanics and Physics of Solids</secondary-title></titles><periodical><full-title>Journal of the Mechanics and Physics of Solids</full-title></periodical><pages>1477-1508</pages><volume>51</volume><number>8</number><dates><year>2003</year></dates><isbn>0022-5096</isbn><urls></urls></record></Cite></EndNote>[4] در سال 2003 این تئوری را بهبود بخشیده و با به کار بردن معادلات تعادل جدید، تعداد پارامترهای طولی آن را از 5 به 3 رساندند. کنگ و همکارانش ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>Kong</Author><Year>2008</Year><RecNum>61</RecNum><DisplayText>[12, 23]</DisplayText><record><rec-number>61</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">61</key></foreign-keys><ref-type name="Journal Article">17</ref-type><contributors><authors><author>Kong, Shengli</author><author>Zhou, Shenjie</author><author>Nie, Zhifeng</author><author>Wang, Kai</author></authors></contributors><titles><title>The size-dependent natural frequency of Bernoulli–Euler micro-beams</title><secondary-title>International Journal of Engineering Science</secondary-title></titles><periodical><full-title>International Journal of Engineering Science</full-title></periodical><pages>427-437</pages><volume>46</volume><number>5</number><dates><year>2008</year></dates><isbn>0020-7225</isbn><urls></urls></record></Cite><Cite><Author>Kong</Author><Year>2009</Year><RecNum>62</RecNum><record><rec-number>62</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">62</key></foreign-keys><ref-type name="Journal Article">17</ref-type><contributors><authors><author>Kong, Shengli</author><author>Zhou, Shenjie</author><author>Nie, Zhifeng</author><author>Wang, Kai</author></authors></contributors><titles><title>Static and dynamic analysis of micro beams based on strain g--ient elasticity theory</title><secondary-title>International Journal of Engineering Science</secondary-title></titles><periodical><full-title>International Journal of Engineering Science</full-title></periodical><pages>487-498</pages><volume>47</volume><number>4</number><dates><year>2009</year></dates><isbn>0020-7225</isbn><urls></urls></record></Cite></EndNote>[12, 23] در سال 2008 و 2009 رفتار استاتیکی و دینامیکی میکروتیرها را با استفاده از تئوری گرادیان کرنش و تئوری کلاسیک تیر اولر برنولی مورد بررسی قرار دادند. وانگ و همکارانش (Wang, Zhao et al. 2010) در سال 2010 رفتار مکانیکی میکروتیرها را با استفاده از تئورس تیموشنکو و تئوری گرادیان کرنش بررسی کردند. کهرباییان و همکارانش ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>Kahrobaiyan</Author><Year>2011</Year><RecNum>63</RecNum><DisplayText>[24]</DisplayText><record><rec-number>63</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">63</key></foreign-keys><ref-type name="Journal Article">17</ref-type><contributors><authors><author>Kahrobaiyan, MH</author><author>Asghari, M</author><author>Rahaeifard, M</author><author>Ahmadian, MT</author></authors></contributors><titles><title>A nonlinear strain g--ient beam formulation</title><secondary-title>International Journal of Engineering Science</secondary-title></titles><periodical><full-title>International Journal of Engineering Science</full-title></periodical><pages>1256-1267</pages><volume>49</volume><number>11</number><dates><year>2011</year></dates><isbn>0020-7225</isbn><urls></urls></record></Cite></EndNote>[24] در سال 2011 و اصغری و همکارانش ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>Asghari</Author><Year>2012</Year><RecNum>64</RecNum><DisplayText>[25]</DisplayText><record><rec-number>64</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">64</key></foreign-keys><ref-type name="Journal Article">17</ref-type><contributors><authors><author>Asghari, M</author><author>Kahrobaiyan, MH</author><author>Nikfar, M</author><author>Ahmadian, MT</author></authors></contributors><titles><title>A size-dependent nonlinear Timoshenko microbeam model based on the strain g--ient theory</title><secondary-title>Acta Mechanica</secondary-title></titles><periodical><full-title>Acta Mechanica</full-title></periodical><pages>1233-1249</pages><volume>223</volume><number>6</number><dates><year>2012</year></dates><isbn>0001-5970</isbn><urls></urls></record></Cite></EndNote>[25]، ژائو و همکارانش ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>Zhao</Author><Year>2012</Year><RecNum>65</RecNum><DisplayText>[26]</DisplayText><record><rec-number>65</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">65</key></foreign-keys><ref-type name="Journal Article">17</ref-type><contributors><authors><author>Zhao, Junfeng</author><author>Zhou, Shenjie</author><author>Wang, Binglei</author><author>Wang, Xiping</author></authors></contributors><titles><title>Nonlinear microbeam model based on strain g--ient theory</title><secondary-title>Applied Mathematical Modelling</secondary-title></titles><periodical><full-title>Applied Mathematical Modelling</full-title></periodical><pages>2674-2686</pages><volume>36</volume><number>6</number><dates><year>2012</year></dates><isbn>0307-904X</isbn><urls></urls></record></Cite></EndNote>[26] و شجاع رمضانی ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>Ramezani</Author><Year>2012</Year><RecNum>66</RecNum><DisplayText>[27]</DisplayText><record><rec-number>66</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">66</key></foreign-keys><ref-type name="Journal Article">17</ref-type><contributors><authors><author>Ramezani, Shojaa</author></authors></contributors><titles><title>A micro scale geometrically non-linear Timoshenko beam model based on strain g--ient elasticity theory</title><secondary-title>International Journal of Non-Linear Mechanics</secondary-title></titles><periodical><full-title>International Journal of Non-Linear Mechanics</full-title></periodical><pages>863-873</pages><volume>47</volume><number>8</number><dates><year>2012</year></dates><isbn>0020-7462</isbn><urls></urls></record></Cite></EndNote>[27] در سال 2012 از تئوریهای غیرخطی اولر برنولی و تیموشنکو برای بررسی میکروتیرها بهره بردند. رجبی و رمضانی ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>Rajabi</Author><Year>2012</Year><RecNum>68</RecNum><DisplayText>[28]</DisplayText><record><rec-number>68</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">68</key></foreign-keys><ref-type name="Journal Article">17</ref-type><contributors><authors><author>Rajabi, Farshid</author><author>Ramezani, Shojaa</author></authors></contributors><titles><title>A nonlinear microbeam model based on strain g--ient elasticity theory with surface energy</title><secondary-title>Archive of Applied Mechanics</secondary-title></titles><periodical><full-title>Archive of Applied Mechanics</full-title></periodical><pages>363-376</pages><volume>82</volume><number>3</number><dates><year>2012</year></dates><isbn>0939-1533</isbn><urls></urls></record></Cite></EndNote>[28] در سال 2012 میکروتیرها را با استفاده از تئوری گرادیان کرنش و در نظر گرفتن انرژی سطح به صورت غیرخطی بررسی کردند. قایش و همکارانش ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>Ghayesh</Author><Year>2013</Year><RecNum>67</RecNum><DisplayText>[29]</DisplayText><record><rec-number>67</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">67</key></foreign-keys><ref-type name="Journal Article">17</ref-type><contributors><authors><author>Ghayesh, Mergen H</author><author>Amabili, Marco</author><author>Farokhi, Hamed</author></authors></contributors><titles><title>Nonlinear forced vibrations of a microbeam based on the strain g--ient elasticity theory</title><secondary-title>International Journal of Engineering Science</secondary-title></titles><periodical><full-title>International Journal of Engineering Science</full-title></periodical><pages>52-60</pages><volume>63</volume><dates><year>2013</year></dates><isbn>0020-7225</isbn><urls></urls></record></Cite></EndNote>[29] در سال 2013 ارتعاشات اجباری غیرخطی میکروتیرها را با استفاده از تئوری گرادیان کرنش بررسی کردند. وانگ و همکارانش ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>Wang</Author><Year>2011</Year><RecNum>69</RecNum><DisplayText>[30]</DisplayText><record><rec-number>69</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">69</key></foreign-keys><ref-type name="Journal Article">17</ref-type><contributors><authors><author>Wang, Binglei</author><author>Zhou, Shenjie</author><author>Zhao, Junfeng</author><author>Chen, Xi</author></authors></contributors><titles><title>A size-dependent Kirchhoff micro-plate model based on strain g--ient elasticity theory</title><secondary-title>European Journal of Mechanics-A/Solids</secondary-title></titles><periodical><full-title>European Journal of Mechanics-A/Solids</full-title></periodical><pages>517-524</pages><volume>30</volume><number>4</number><dates><year>2011</year></dates><isbn>0997-7538</isbn><urls></urls></record></Cite></EndNote>[30] در سال 2011 و رمضانی و شجاع ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>Ramezani</Author><Year>2012</Year><RecNum>70</RecNum><DisplayText>[31]</DisplayText><record><rec-number>70</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">70</key></foreign-keys><ref-type name="Journal Article">17</ref-type><contributors><authors><author>Ramezani, Shojaa</author></authors></contributors><titles><title>A shear deformation micro-plate model based on the most general form of strain g--ient elasticity</title><secondary-title>International Journal of Mechanical Sciences</secondary-title></titles><periodical><full-title>International Journal of Mechanical Sciences</full-title></periodical><pages>34-42</pages><volume>57</volume><number>1</number><dates><year>2012</year></dates><isbn>0020-7403</isbn><urls></urls></record></Cite></EndNote>[31] در سال 2012 میکروورقها را با بهرهگیری از تئوری مرتبه اول و کیرشهف و تئوری گرادیان کرنش مورد بررسی قرار دادند. در این تحقیقات وابستگی به اندازهی رفتار مکانیکی در ابعاد میکرو کاملاَ مشهود است.
یین و همکارانش ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>Yin</Author><Year>2011</Year><RecNum>21</RecNum><DisplayText>[32]</DisplayText><record><rec-number>21</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">21</key></foreign-keys><ref-type name="Journal Article">17</ref-type><contributors><authors><author>Yin, L</author><author>Qian, Q</author><author>Wang, L</author></authors></contributors><titles><title>Strain g--ient beam model for dynamics of microscale pipes conveying fluid</title><secondary-title>Applied Mathematical Modelling</secondary-title></titles><periodical><full-title>Applied Mathematical Modelling</full-title></periodical><pages>2864-2873</pages><volume>35</volume><number>6</number><dates><year>2011</year></dates><isbn>0307-904X</isbn><urls></urls></record></Cite></EndNote>[32] در سال 2011 و فرشیدفر و سمدی ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>Farshidianfar</Author><Year>2012</Year><RecNum>51</RecNum><DisplayText>[33]</DisplayText><record><rec-number>51</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">51</key></foreign-keys><ref-type name="Journal Article">17</ref-type><contributors><authors><author>Farshidianfar, Anoshirvan</author></authors></contributors><titles><title>A microstructure-dependent Timoshenko beam model for vibration analysis of micropipes conveying fluid based on strain g--ient theory</title><secondary-title>Journal of Mathematics</secondary-title></titles><periodical><full-title>Journal of Mathematics</full-title></periodical><dates><year>2012</year></dates><urls></urls></record></Cite></EndNote>[33] در سال 2012 رفتار دینامیکی میکرولولههای حاوی جریان را با بهرهگیری از تئوریهای تیر اولر-برنولی و تیموشنکو بر اساس تئوری مرتبه بالا گرادیان کرنش بررسی کردند. در این تحقیقات که بهصورت عددی انجام شده است، فرکانس طبیعی در سرعتهای مختلف و همچنین سرعت بحرانی میکرولولهها بهدست آمده است.
در این پایاننامه در ابتدا به بررسی ارتعاشات آزاد غیرخطی میکرولولههای حاوی جریان با بهرهگیری از تئوری تیر اولر برنولی، تئوری غیرکلاسیک گرادیان کرنش، تنش کوپل و کرنش غیرخطی وون کارمن پرداخته خواهد شد. لازم به ذکر است که اثر اختلاف دما در فرمول بندی مسأله لحاظ شده است. در این قسمت از روش تحلیل هموتوپی برای به دست آوردن فرکانس طبیعی استفاده خواهد شد. همچنین، از روش ماکزیمم مینیمم برای آزمودن روش هموتوپی در حل معادله حاکم و رسیدن به فرکانس پایه بهره برده میشود. با حل معادله حاکم استاتیک با روش گالرکین، رفتار پس از کمانش میکرولولهها مورد بحث قرار خواهد گرفت. در پایان هم میکرولولهی هدفمند همانند حالت قبل مورد مطالعه قرار داده میشود. در این مرحله، از قانون توزیع توانی مواد هدفمند برای مدل کردن تغییر خواص مواد در راستای ضخامت به طور پیوسته استفاده خواهد شد و تأثیر تغییر اندیس توانی بر ارتعاشات آزاد غیرخطی و رفتار پس از کمانش میکرولولههای هدفمند حاوی جریان مطالعه خواهد شد.
از آنجاییکه رفتار مکانیکی در ابعاد میکرو و نانو اساساً غیرخطی است، در این پایاننامه سعی شده است که رفتار ارتعاشی غیرخطی و رفتار پس از کمانش میکرولولههای حاوی جریان بر اساس تئوری غیرکلاسیک گرادیان کرنش، به عنوان نوآوری برای اولین بار مورد بررسی و تحلیل قرار گیرد. در پژوهشهای پیشین انجام شده در رابطه با میکرولولههای حاوی جریان، تا به حال اثر تغییر دما در نظر گرفته نشده است. اما، با توجه به حضور میکرولولهها در شرایط مختلف محیطی، دما یکی از پارامترهای تأثیرگذار در طراحی دستگاههای میکروسیالی است. بنابرین تأثیر تغییر دما بر رفتار غیرخطی مکانیکی میکرولولههای حاوی جریان، مورد بحث قرار خواهد گرفت.
نوآوری مهم دیگر این پایاننامه بررسی رفتار مکانیکی میکرولولههای هدفمند و حاوی جریان است که برای اولین بار مورد بررسی قرار میگیرند. در این بررسیها ارتعاشات غیرخطی و رفتار پس از کمانش میکرولولههای هدفمند با استفاده از تئوری تنش کوپل و تئوری گرادیان کرنش با جزئیات کامل مورد بحث قرار خواهد گرفت.
تحلیل ارتعاشات آزاد غیرخطی و رفتار پس از کمانش میکرولولههای حاوی جریان
مقدمه در این فصل ارتعاشات آزاد غیرخطی و رفتار پس از کمانش میکرولولههای حاوی جریان مورد بررسی قرار خواهد گرفت. در این بررسیها از تئوری اولر – برنولی و فرض کرنش غیرخطی وون-کارمن همراه با تئوری مرتبه بالای گرادیان کرنش استفاده شده است. روش انرژی و اصل همیلتون برای به دست آوردن معادلهی حاکم و شرایط مرزی مربوط به آن مورد استفاده قرار گرفته است. معادلهی حاکم توسط روش گالرکین به معادلهی دافین تبدیل میشود. این معادله به کمک دو روش نیمه تحلیلی هموتوپی و ماکزیمم – مینیمم به صورت جداگانه حل می شود و ارتعاشات آزاد میکرولولهی حاوی جریان مورد بررسی قرار میگیرد. همچنین تأثیر اختلاف دمای میکرولوله با محیط اطراف، بر رفتار ارتعاشی آن مورد مطالعه قرار میگیرد.
در پایان هم معادلهی حاکم استاتیک میکرولولهی حاوی جریان به کمک روش انرژی و اصل همیلتون به دست میآید. رفتار پس از کمانش میکرولولهها با حل این معادلهی حاکم استاتیک با روش گالرکین مورد مطالعه و بررسی قرار میگیرد.
تئوری تنش کوپلدر تئوری بهبود یافتهی تنش کوپل، انرژی کرنشی تابعی از تانسور کرنش متقارن و تانسور گرادیان چرخش متقارن است. بنابراین انرژی کرنشی به این صورت نوشته میشود ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>Yang</Author><Year>2002</Year><RecNum>30</RecNum><DisplayText>[11]</DisplayText><record><rec-number>30</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">30</key></foreign-keys><ref-type name="Journal Article">17</ref-type><contributors><authors><author>Yang, FACM</author><author>Chong, ACM</author><author>Lam, DCC</author><author>Tong, P</author></authors></contributors><titles><title>Couple stress based strain g--ient theory for elasticity</title><secondary-title>International Journal of Solids and Structures</secondary-title></titles><periodical><full-title>International Journal of Solids and Structures</full-title></periodical><pages>2731-2743</pages><volume>39</volume><number>10</number><dates><year>2002</year></dates><isbn>0020-7683</isbn><urls></urls></record></Cite></EndNote>[11]:
(2-1) U=12Ωσijεij+mijχijdvکه در آن:
(2-2) σij=λδijεmm+2Gεij(2-3) εij=12∂iuj+∂jui+12∂ium∂jum(2-4) mij=2l22Gχij(2-5) χij=12eipq∂pεqj+ejpq∂pεqi در این روابط χij,mij, εij,σij به ترتیب نمایانگر مؤلفههای تانسور تنش، تانسور کرنش، تانسور انحراف تنش کوپل و تانسور متقارن انحناء هستند. همچنین λ و G ضرائب لمهکلاسیک هستند و l پارامتر مستقل طولی است. همچنین در این معادلات ui بردار جابجایی، δij دلتای کرونیکر، ejpq علامت جایگشت و ∂i عملگر دیفرانسیلی است.
تئوری گرادیان کرنشدر ابتدا خلاصهای از تئوری گرادیان کرنش ارائه گردید. علاقمندان برای جزئیات بیشتر میتوانند به مراجع لم و همکارانش ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>Lam</Author><Year>2003</Year><RecNum>11</RecNum><DisplayText>[4]</DisplayText><record><rec-number>11</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">11</key></foreign-keys><ref-type name="Journal Article">17</ref-type><contributors><authors><author>Lam, DCC</author><author>Yang, F</author><author>Chong, ACM</author><author>Wang, J</author><author>Tong, P</author></authors></contributors><titles><title>Experiments and theory in strain g--ient elasticity</title><secondary-title>Journal of the Mechanics and Physics of Solids</secondary-title></titles><periodical><full-title>Journal of the Mechanics and Physics of Solids</full-title></periodical><pages>1477-1508</pages><volume>51</volume><number>8</number><dates><year>2003</year></dates><isbn>0022-5096</isbn><urls></urls></record></Cite></EndNote>[4] و کنگ و همکارانش ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>Kong</Author><Year>2009</Year><RecNum>15</RecNum><DisplayText>[23]</DisplayText><record><rec-number>15</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">15</key></foreign-keys><ref-type name="Journal Article">17</ref-type><contributors><authors><author>Kong, Shengli</author><author>Zhou, Shenjie</author><author>Nie, Zhifeng</author><author>Wang, Kai</author></authors></contributors><titles><title>Static and dynamic analysis of micro beams based on strain g--ient elasticity theory</title><secondary-title>International Journal of Engineering Science</secondary-title></titles><periodical><full-title>International Journal of Engineering Science</full-title></periodical><pages>487-498</pages><volume>47</volume><number>4</number><dates><year>2009</year></dates><isbn>0020-7225</isbn><urls></urls></record></Cite></EndNote>[23] مراجعه کنند. تئوری گرادیان کرنش فرم کلیتر تئوری تنش کوپل با سه پارامتر طولی است. بر اساس تئوری گرادیان کرنش چگالی انرژی جنبشی تابعی از تانسور کرنش متقارن، بردار گرادیان تأخیر، تانسور گرادیان انحراف اتساع و تانسور گرادیان چرخش متقارن است. بنابراین مدل محیط پیوستهی انرژی کرنشی برای مواد ایزوتروپیک الاستیک خطی بر روی ناحیهی Ω با در نظر گرفتن تغییر شکلهای کوچک بهصورت زیر تعریف میشود:
(2-6) U=12Ωσijεij+piγi+τijk(1)ηijk(1)+mijχijdvکه εij تانسور کرنش وون کارمن، γi بردار گرادیان تأخیر، ηijk(1) تانسور انحراف طولی و χij تانسور متقارن چرخش است که به ترتیب به صورت زیر تعریف می شوند:
(2-7) εij=12∂iuj+∂jui+12∂ium∂jum
(2-8) γi=∂iεmm(2-9) ηijk(1)=13∂iεjk+∂jεki+∂kεij-115δij∂kεmm+2∂mεmk+δjk∂iεmm+2∂mεmi)+δki(∂jεmm+2∂mεmj)(2-10) χij=12eipq∂pεqj+ejpq∂pεqi در بحث معادلات متشکله برای یک ماده آیزوتروپیک الاستیک خطی، σij، تانسور کلاسیک تنش است که کار مزدوج εij محسوب میشود. همچنین تنشهای مرتبه بالای pi ،τijk (1) و mij بهترتیب کارهای مزدوج γi ، ηijk(1) و χij هستند، که به این صورت تعریف میشوند:
(2-11) σij=λδijεmm+2Gεij(2-12) pi=2l02Gγi(2-13) τijk1=2l12Gηijk1(2-14) mij=2l22Gχijدر این معادلات λ و G ضرایب لمه کلاسیک هستند. l0، l1 و l2 پارامترهای مستقل طولی که بهترتیب مربوط به گرادیان تأخیر، گرادیان انحراف طولی و گرادیان چرخش هستند.
روابط سینماتیک میکرولولهای با مقطع دایرهای بهطول L، قطر خارجی D، قطر داخلی d و سطح مقطع A را در نظر بگیرید، که بر روی دو تکیهگاه ساده قرار گرفته است. ماده مورد استفاده در لوله دارای چگالی ρp و جرم بر واحد طول mp است. چگالی سیال درون لوله ρf است که با سرعت متوسط Vدرون لوله حرکت میکند و جرم بر واحد طول آن mf است. همانطور که درشکل 2-1 مشاهده میکنید، xoz سیستم مختصات کارتزین است. محور x منطبق بر محور مرکزی لوله و z محور جانبی است.

شماتیکی از میکرولوله حاوی جریان بر روی دو تکیهگاه سادهبر اساس تئوری تیر اولر-برنولی میدان جابجایی به فرم زیر است:
(2-15) u1=u(x,t)-z ψ(x,t), u2=0, u3=w(x,t) در این معادله u3, u2, u1 مؤلفههای جابجایی در راستا های x, y, z هستند. همچنین،زاویهی چرخش ψ(x,t) به فرم زیر تعریف میشود:
(2-16) ψ(x,t)=∂wx,t∂xبا استفاده از روابط (2-7)، (2-15) و (2-16) تنها مؤلفه غیرصفر کرنش غیرخطی وون-کامن به این صورت به دست میآید:
(2-17) ε11=∂u∂x-z∂2w∂x2+12(∂w∂x)2 همچنین از معادلات (2-8) و (2-17) خواهیم داشت:
(2-18) γ1=∂2u∂x2-z∂3w∂x3+∂w∂x ∂2w∂x2 , γ2=0, γ3=-∂2w∂x2با ترکیب روابط (2-9) و (2-17) مؤلفههای تانسور انحراف طولی به دست میآید:
η1131=η1311=η3111=-415∂2w∂x2,(2-19)
η1221=η2121=η2211=η1331=η3131=η3311=15z∂3w∂x3-∂w∂x∂2w∂x2-∂2u∂x2, η2231=η2321=η3221=115∂2w∂x2, η1111=25∂2u∂x2-z∂3w∂x3+∂w∂x∂2w∂x2, η3331=15∂2w∂x2 با جایگذاری رابطه (2-17) در رابطه (2-10) به تنها مؤلفه غیرصفر تانسور متقارن چرخش میرسیم:
(2-20) χ12=χ21=-12∂2w∂x2 برای یک تیر باریک و بلند با نسبت منظری بالا، اثرات ضریب پواسون در درجه دوم قرارمیگیرد و برای ساده سازی روابط در تئوریهای ساده تیر، میتوان از اثرات آن صرفنظر کرد ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>Yin</Author><Year>2011</Year><RecNum>21</RecNum><DisplayText>[32]</DisplayText><record><rec-number>21</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">21</key></foreign-keys><ref-type name="Journal Article">17</ref-type><contributors><authors><author>Yin, L</author><author>Qian, Q</author><author>Wang, L</author></authors></contributors><titles><title>Strain g--ient beam model for dynamics of microscale pipes conveying fluid</title><secondary-title>Applied Mathematical Modelling</secondary-title></titles><periodical><full-title>Applied Mathematical Modelling</full-title></periodical><pages>2864-2873</pages><volume>35</volume><number>6</number><dates><year>2011</year></dates><isbn>0307-904X</isbn><urls></urls></record></Cite></EndNote>[32]. با صفر قرار دادن مقدار ضریب پواسون، همانطوری که در تئوریهای کلاسیک تیر انجاممیشود و ترکیب معادلات (6) و (12) تنها تنش غیرصفر به این صورت تعریف میشود:
(2-21) σ11=Eε11=E∂u∂x-z∂2w∂x2+12(∂w∂x)2 که در آن E مدول الاستیسیتهی ماده سازنده لوله خواهد بود.
با جایگذاری گرادیانهای کرنش غیر صفر برای تیر اولر- برنولی که در معالات (13) - (15) آمده است، در معادلات (7) - (9)، ترمهای غیرصفر تنشهای مرتبه بالا، به این صورت بهدست میآیند:
(2-22) P1=2l02G∂2u∂x2-z∂3w∂x3+∂w∂x∂2w∂x2, P3=-2l02Gz∂2w∂x2 (2-23)
τ1131=τ1311=τ3111=-815l12G∂2w∂x2, τ1221=τ2121=τ2211=25l12G(z∂3w∂x3-∂w∂x∂2w∂x2)τ223(1)=τ232(1)=τ322(1)=215l12G∂2w∂x2, τ133(1)=τ313(1)=τ331(1)=25l12G(∂3w∂x3-∂w∂x∂2w∂x2-∂2u∂x2)τ333(1)=25l12G∂2w∂x2, τ111(1)=45l12G(∂2u∂x2-z∂3w∂x3+∂w∂x∂2w∂x2) (2-24) m12=m21=-l22G∂2w∂x2 استخراج معادلات حاکم به روش انرژی
با استفاده از روابط (2-21) - (2-24) و جایگذاری آنها در رابطه ی (2-6) انرژی کرنشی به دست خواهد آمد. عبارت U1 انرژی کرنشی ناشی از تغییرات تنش های کلاسیک و مرتبه بالا نسبت به وضعیت اولیه و U2 انرژی کرنشی ناشی از توالی کشش میباشد.
(2-25) U1=12A 0 LEz2+G2l02+815l12+l22∂2w∂x22+Gz22l02+45l12∂3w∂x32+E∂u∂x+12∂w∂x22+G2l02+45l12 ∂2u∂x2-z∂3w∂x3+∂w∂x∂2w∂x22 = 120LS∂2w∂x22+K∂3w∂x32+EA∂u∂x+12∂w∂x22+GA2l02+45l12∂2u∂x2+∂w∂x∂2w∂x22dx(2-26) U2=120LN0AA∂u∂x-Z∂2w∂x2+12∂w∂x2dAdx=120LN02∂u∂x+∂w∂x2dxکه در آن N0 نیروی محوری اولیه و پارامترهای اولیه به صورت زیر تعریف میگردد.
(2-27) S=EI+GA2l02+815l12+l22(2-28) K=GI2l02+45l12انرژی جنبشی لوله به این صورت قابل محاسبه است:
(2-29) Tp=mp20L∂w∂t2+∂u∂t2+ρI∂2w∂x∂t2dxکه در این رابطه mp جرم میکرولوله بر واحد طول آن است. معادلهی جریان درون میکرولوله غیرقابل تراکم با سرعت ثابت است. برای لولهای که دو طرف آن ثابت شده است، انرژی جنبشی سیال درون لوله توسط پایداسوس ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>Païdoussis</Author><Year>1998</Year><RecNum>16</RecNum><DisplayText>[34]</DisplayText><record><rec-number>16</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">16</key></foreign-keys><ref-type name="Generic">13</ref-type><contributors><authors><author>Païdoussis, MP</author><author>Interactions, Fluid–Structure</author></authors></contributors><titles><title>Slender Structures and Axial Flow, vol</title></titles><dates><year>1998</year></dates><publisher>1Academic Press, London</publisher><urls></urls></record></Cite></EndNote>[34] ارائه شده است:
(2-30) Tf=mf20L∂w∂t+V∂w∂x2+V2 dxدر رابطهی بالا mf، جرم سیال بر واحد طول میکرولوله و V سرعت متوسط سیال گذرنده از میکرولوله است.
با توجه به بیحرکت بودن تکیهگاهها در راستای محوری، میتوان اثر تغییر دما را به صورت یک نیروی خارجی نشان داد. با استفاده از اصول ترموالاستیک این نیرو که به بار حرارتی معروف است، به فرم زیر بیان میشود ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>Zhang</Author><Year>2008</Year><RecNum>18</RecNum><DisplayText>[35]</DisplayText><record><rec-number>18</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">18</key></foreign-keys><ref-type name="Journal Article">17</ref-type><contributors><authors><author>Zhang, YQ</author><author>Liu, X</author><author>Zhao, JH</author></authors></contributors><titles><title>Influence of --perature change on column buckling of multiwalled carbon nanotubes</title><secondary-title>Physics Letters A</secondary-title></titles><periodical><full-title>Physics Letters A</full-title></periodical><pages>1676-1681</pages><volume>372</volume><number>10</number><dates><year>2008</year></dates><isbn>0375-9601</isbn><urls></urls></record></Cite></EndNote>[35].
(2-31) Nth=-EA1-2ναth∆Tکه E مدول الاستیسیته، υ ضریب پواسون، αth ضریب انبساط طولی و ∆T تغییر دمای میکرولوله است.
کار یک نیروی خارجی که بر میکرولوله وارد می شود، به این صورت قابل محاسبه است:
(2-32) W=-120LF(x,t)(∂w∂x)2 dxبنابراین کار نیروی خارجی تغییر دمای میکرولوله به این فرم خواهد بود:
(2-33) Wext=-12Nth0L(∂w∂x)2 dxفرم کلی اصل همیلتون در رابطه با لولههای حاوی جریان توسط بنجامین ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>Benjamin</Author><Year>1961</Year><RecNum>17</RecNum><DisplayText>[36]</DisplayText><record><rec-number>17</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">17</key></foreign-keys><ref-type name="Journal Article">17</ref-type><contributors><authors><author>Benjamin, T Brooke</author></authors></contributors><titles><title>Dynamics of a sys-- of articulated pipes conveying fluid. II. Experiments</title><secondary-title>Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences</secondary-title></titles><periodical><full-title>Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences</full-title></periodical><pages>487-499</pages><volume>261</volume><number>1307</number><dates><year>1961</year></dates><isbn>1364-5021</isbn><urls></urls></record></Cite></EndNote>[36]، به شکل زیر ارائه شده است:
(2-34) δt1t2Tp+Tf+Wext-U-MV2uL dt-t1t2MV∂wL∂t+V∂wL∂xδwLdt=0که l=Tp+Tf+Wext-U لاگرانژین سیستم بسته است.
در رابطه (2-34)، اگر میکرولوله را دو سر ثابت فرض کنیم، uL=wL=0 معادله به این صورت کاهش مییابد:
(2-35) δt1t2(Tp+Tf+Wext-U1-U2) dt=0 با جایگذاری روابط (2-25)، (2-26)، (2-29)، (2-30) و (2-33) در معادله (2-35) و استفاده از حساب تغییرات و انتگرال گیری جزء به جزء خواهیم داشت:
(2-36) ∂∂xN0+EA∂u∂x+12∂w∂x2-GA2l02+45l12∂2∂x2∂u∂x+12∂w∂x2 -ρA∂2u∂t2=0(2-37) -∂∂xN0+EA∂u∂x+12∂w∂x2+Nth-GA2l02+45l12∂2∂x2∂u∂x+12∂w∂x2∂w∂x+S∂4w∂x4-K∂6w∂x6 +mfV2∂2w∂x2+mfV∂2w∂x∂t+mp+mf∂2w∂t2=0شرایط مرزی به صورت زیر به دست میآید:
(2-38) N0+EA∂u∂x+12∂w∂x2-GA2l02+45l12∂2∂x2∂u∂x+12∂w∂x2x=0,L=0 or δux=0,L=0(2-39) GA2l02+45l12∂∂x∂u∂x+12∂w∂x2x=0,L=0 or ∂u∂x+12∂w∂x2x=0,L=0(2-40) N0+EA∂u∂x+12∂w∂x2+Nth-GA2l02+45l12∂2∂x2∂u∂x+12∂w∂x2∂w∂x-S∂3w∂x3-K∂5w∂x5+mfV2∂w∂x+mfV∂w∂t-ρI∂3w∂x∂t2x=0,L=0 or δwx=0,L=0(2-41) S∂2w∂x2-K∂4w∂x4-ρI∂2w∂x∂tx=0,L=0 or δ∂w∂xx=0,L=0(2-42) K∂3w∂x3x=0,L=0 or δ∂2w∂x2x=0,L=0لازم به ذکر است که با توجه به اندازه I نسبت به A از اینرسی چرخشی میتوان صرفنظر نمود. برای یک تیر با دو سر تکیهگاه ساده، شرایط مرزی به این صورت خواهد بود:
(2-43) w0=wL=0(2-44) u0=uL=0بنابرین شرایط مرزی اساسی در روابط (2-38) و (2-40) ارضاء خواهد شد. از این رو شرایط مرزی غیر کلاسیک به فرم زیر کاهش می یابد:
(2-45) ∂∂x∂u∂x+12∂w∂x2x=0,L=0(2-46) S∂2w∂x2+K∂4w∂x4x=0,L=0(2-47) K∂3w∂x3x=0,L=0به دلیل نبود نیروهای حجمی، N0 مستقل از x است. اگر در رابطهی (2-36)، از اینرسی طولی ρA∂2u∂t2=0 صرف نظر کنیم ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>Nayfeh</Author><RecNum>19</RecNum><DisplayText>[37]</DisplayText><record><rec-number>19</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">19</key></foreign-keys><ref-type name="Journal Article">17</ref-type><contributors><authors><author>Nayfeh, AH</author><author>Mook, DT</author></authors></contributors><titles><title>Nonlinear oscillations. 1979</title><secondary-title>John Willey and Sons, New York</secondary-title></titles><periodical><full-title>John Willey and Sons, New York</full-title></periodical><dates></dates><urls></urls></record></Cite></EndNote>[37]، منتجهی نیروی محوری حاصل از مؤلفهی تنش کلاسیک در راستای محوری تیر از روابط (2-21)، (2-38) و شرط مرزی (2-45) به دست میآید:
(2-48) Aσ11dA=EA∂u∂x+12∂w∂x2=C1(t)با انتگرالگیری از طرفین خواهیم داشت:
(2-49) EAu+120L∂w∂x2dx=xC1t+C2tکه در آن C1t و C2t توابع مجهول هستند. به علت ثابت بودن دو سر میکرولوله و با استفاده از شرایط مرزی (2-44) خواهیم داشت:
(2-50) C1t=EA2L0L∂w∂x2dx, C2t=0بنابراین
(2-51) ∂u∂x+12∂w∂x2=C1t=EA2L0L∂w∂x2dx≔Nدر واقع N تغییرات نیروی محوری با توجه به حالت اولیه به دلیل کشش ناشی از جابجایی عرضی در تیر است که در طول تیر مقداری ثابت دارد. N را انبساط صفحه میانی مینامند که منبع غیرخطی در این مسائل میباشد. با جایگذاری معادلهی (2-51) در رابطهی (2-37) معادلهی حاکم غیرخطی میکرولولهی حاوی جریان به فرم زیر خواهد بود:
(2-52) S∂4w∂x4-K∂6w∂x6-N∂2w∂x2+mfV2∂2w∂x2+2mfV∂2w∂x∂t+mp+mf∂2w∂t2=0که در آن
(2-53) N=N0+Nth+EA2L0L∂w∂x2dxبا صرفنظر از تغییر طول صفحهی میانی N=0 معادله حاکمه غیرخطی تبدیل به معادله حاکم خطی با تغییر شکلهای کوچک می شود. همچنین، با حذف l0 و l1معادلهی حاکم و شرایط مرزی تبدیل به حالت به دست آمده از تئوری تنش کوپل میشود. حال اگر هر سه پارامتر طولی l0، l1 و l2 را صفر قرار دهیم معادلات به حالت کلاسیک ساده خواهند شد.
فرم بیبعد رابطهی (2-52) با معرفی پارامترهای بیبعد در رابطههای (2-54) به دست میآید:
(2-54) ξ=xL, η=wL, φ=EImp+mf12tL2, β=mfmp+mfμ=mfEI12LV, χ=4l2(1+α2)D2 , Nth=NthL2EA r0=l0l2, r1=l1l2, γ=Dl2, ψ=Ll2κ=r02+2r12/5(1+ν)ψ2, λ=8(2r02+8r1215+1)(1+ν)(1+α2)γ2بنابراین فرم بیبعد معادلهی حاکم غیرخطی میکرولولهی حاوی جریان به شکل زیر خواهد بود:
(2-55) 1+λ∂4η∂ξ4-κ∂6η∂ξ6-χ∂2η∂ξ201∂η∂ξ2dξ-Nth∂2η∂ξ2+μ2∂2η∂ξ2+2β12μ∂2η∂ξ∂φ+∂2η∂φ2=0معادلهی (2-55) یک معادله دیفرانسیل انتگرالی غیرخطی بر حسب زمان و مکان است کهمیتوان با استفاده از روش گالرکین آن را به یک معادله دیفرانسیل غیرخطی بر حسب زمان تبدیل کرد. برای اعمال این روش، جابجایی عرضی تیر را به شکل زیر فرض میکنیم:
(2-56) wξ,φ=ψξζφکه در آن ψξ مود اول کمانش میکرولوله است و باید شرایط مرزی میکرولوله دو سر تکیهگاه ثابت را که در رابطهی (2-43) آمده است را ارضاء کند. بنابراین:
(2-57) ψξ=sinπξبا جایگذاری رابطهی (2-56) در رابطهی (2-55) و انتگرالگیری روی دامنه تیر و همچنین استفاده از پارامترهای بیبعد (2-54) خواهیم داشت:
(2-58) ∂2ζ∂φ2+α1 ζ+α2ζ3=0که در آن
(2-59) α1=1+λπ4+κπ6+Nthπ2-μ2π2(2-60) α2=χ2π4رابطهی (2-58) یک معادلهی غیرخطی میباشد که معروف به معادلهی دافین است.
روش حل تحلیل هموتوپیروش تحلیل هموتوپی (HAM) یک ابزار قدرتمند برای حل نیمه تحلیلی معادلات غیرخطی است، که برای اولین بار توسط لیائو در سال 1992 به عنوان رساله دکترا ارائه گردید ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>Liao</Author><Year>1992</Year><RecNum>20</RecNum><DisplayText>[38]</DisplayText><record><rec-number>20</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">20</key></foreign-keys><ref-type name="Thesis">32</ref-type><contributors><authors><author>Liao, SJ</author></authors></contributors><titles><title>The proposed homotopy analysis technique for the solution of nonlinear problems</title></titles><dates><year>1992</year></dates><publisher>Ph. D. Thesis, Shanghai Jiao Tong University</publisher><urls></urls></record></Cite></EndNote>[38]. لیائو در سال 2003 کتابی را با عنوان "مقدمه ای بر روش تحلیل هموتوپی" به چاپ رسانید که استفاده از این روش را برای حل انواع مسائل غیرخطی توضیح میدهد ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>Liao</Author><Year>2003</Year><RecNum>12</RecNum><DisplayText>[39]</DisplayText><record><rec-number>12</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">12</key></foreign-keys><ref-type name="Book">6</ref-type><contributors><authors><author>Liao, Shijun</author></authors></contributors><titles><title>Beyond perturbation: introduction to the homotopy analysis method</title></titles><dates><year>2003</year></dates><publisher>CRC press</publisher><isbn>0203491165</isbn><urls></urls></record></Cite></EndNote>[39]. در ادامه برای روشن شدن موضوع، توضیح مختصری در رابطه با این روش حل ارائه خواهد شد.
یک معادله دیفرانسیل غیرخطی را به فرم زیر در نظر بگیرید:
(2-61) Aζt=0که در آن A یک عملگر غیرخطی، t معرف زمان و ζt یک متغیر مجهول است. ζ0t یک حدس اولیه برای ζt و L یک عملگر خطی کمکی با خاصیت زیر است:
(2-62) L[r(x)] = 0 هنگامیکه r(x)=0برای حل معادله باید عبارت هموتوپی را بسازیم:
(2-63) Hϕt;q;q;ℏ;h=1-qLϕt;q-ζ0t+qℏhAζtکه در آن q∈0,1 یک پارامتر تعبیه و ϕτ;q تابعی از q وt است. با افزایش q از صفر تا یک، ϕt;q از تقریب اولیه به حل دقیق نزدیک می شود. به عبارتی دیگر، ϕτ;0=ζ0t جواب Hϕt;q;qq=0=0 و ϕt;1=ζt جواب Hϕt;q;q;ℏ;hq=1=0 می باشد. با قرار دادن Hϕt;q;q;ℏ;h=0، معادله تغییر شکل مرتبهی صفر به فرم زیر به دست می آید:
(2-64) 1-qLϕt;q-ζ0t=qℏh(t)Aϕt;qهمراه با شرایط اولیهی:
(2-65) ϕ0;q=c∂ϕt;q∂t=0با استفاده از بسط تیلور خواهیم داشت:
(2-66) ϕτ;q=ζ0t+m=1∞ζmtqmکه در آن
(2-67) ζmτ=1m!∂mζt;q∂qmبرای محاسبه ی تقریب مرتبه ی اول کافی است از معادله ی تغییر شکل مرتبه ی صفر یک بار نسبت به q مشتق گیری کنیم و در آن q را برابر با صفر قرار دهیم. بنابراین:
(2-68) Lζ1t=qℏh(t)Aϕt;qq=0تقریبهای مرتبه ی بالاتر را میتوان از معادلهی تغییر شکل مرتبهی m با شرط m>1 محاسبه نمود. برای این منظور کافی است از معادلهی تغییر شکل مرتبهی صفر رابطهی(2-64)، m بار نسبت به q مشتقگیری کنیم و پس از آن با قرار دادن q=0 معادلهی تقریبهای مرتبه بالاتر حاصل می شود:
(2-69) Lζmt-ζm-1t=ℏh(τ)1(m-1)!dm-1Aϕt;qdq(m-1)q=0اعمال روش تحلیل هموتوپیبرای حل معادلهی (3-58) توسط روش تحلیل هموتوپی، ابتدا با تبدیل φ=ωτ و ζt=ζτ یک مقیاس زمانی جدید که در آن ω فرکانس طبیعی غیرخطی است، را تعریف میکنیم. با انجام این تبدیل رابطهی (53) به شکل زیر در خواهد آمد:
(2-70) ω2∂2ζτ∂τ2+α1 ζτ+α2ζ 3τ=0به همراه شرایط اولیهی:
(2-71) ζ0=wmax∂ζτ∂τ=0در اینجا ω فرکانس غیرخطی نامشخص است، که باید محاسبه شود و wmax ماکزیمم دامنهی ارتعاشی است. همچنین لازم به ذکر است که ارتعاشات آزاد نامیرا، حرکتی متناوب دارد که میتوان آن را با توابع پایهای زیر بیان نمود:
(2-72) cosmτ, m=1, 2, 3, …به منظور ارضاء شرایط اولیه که در رابطهی (2-71) آمده است، میتوان حدس اولیهی ζτ را برای معادلهی تغییر شکل مرتبهی صفر به شکل زیر انتخاب کرد:
(2-73) ζ0τ=wmaxcosτبرای تشکیل رابطهی هموتوپی باید عملگرهای خطی و غیرخطی را تعریف کرد. عملگر کمکی خطی L را میتوان به شکل زیر تعریف کرد:
(2-74) Lϕτ;q=ω2d2ϕτ;qdτ2+ϕτ;qعملگر غیرخطی A را نیز برای سادگی محاسبات می توان از رابطهی (2-70) به این فرم انتخاب کرد:
(2-75) Aϕτ;q=ω2d2ϕτ;qdτ2+α1ϕτ;q +α2ϕ 3τ;q=0با استفاده از رابطهی (2-68) تقریب اول جابجایی عرضی و فرکانس طبیعی به شکل زیر محاسبه میشود:
(2-76) Lζ1τ=qℏh(τ)Aϕτ;qq=0ζ10=0, d ζ10dτ=0با جایگذاری رابطهی (2-75) در رابطهی (2-76) و فرض ℏ=-1 و hτ=1 رابطهی (2-76) را میتوان به این صورت نوشت.
(2-77) Lζ1τ=ω2d2ζ10dτ2+α1ζ10 +α2ζ130=0ζ10=0, d ζ10dτ=0با استفاده از روابط (2-73) و (2-74) در رابطهی (2-77) خواهیم داشت:
(2-78) d2ζ1τdτ2+ζ1τ=wmaxα12ω2-1+α24ω2wmax3cos3τ+3cosτζ10=0, d ζ10dτ=0جواب کلی معادله دیفرانسیل (2-78) به شکل زیر است:
(2-79) ζ1τ=c1cosτ+c2sinτ+c3cos3τ+c4τsinτبا اعمال شرایط مرزی، ضرائب جواب به این شکل به دست میآیند:
(2-80) c1=-c3=132α2ω2wmax3c4=wmax2α1ω2-1+3α28wmax3برای داشتن تغییر شکل محدود در زمان بینهایت باید ضریب c4 برابر با صفر قرار گیرد. با انجام این عمل فرکانس طبیعی غیرخطی مرتبه صفر حاصل خواهد شد:
(2-81) ωnonlinear=α1+34α2wmax2فرکانس طبیعی خطی میکرولولهی حاوی جریان با حذف ترم غیرخطی به فرم زیر به دست خواهد آمد:
(2-82) ωlinear=α1برای سهولت در مقایسهی فرکانس طبیعی غیرخطی و خطی پارامتر Ω را به شکل زیر میتوان تعریف کرد:
(2-83) Ω=ωnonlinearωlinear=1+34α2α1wmax2بنابراین حل کلی رابطهی (2-78) به این شکل خواهد بود:
(2-84) ζ1τ=132α2ω2wmax3cosτ-cos3τبرای محاسبهی تقریب مراتب بالاتر از فرکانس طبیعی غیرخطی و جابجایی عرضی، میتوان از معادلهی تغییر شکل مرتبهی m که در رابطهی (2-69) آمده است، استفاده کرد. در این حالت برای محاسبهی فرکانس طبیعی و جابجایی عرضی داریم:
(2-85) ζτ=ζ0τ+ζ1τ+ζ2τ+…(2-86) ωτ=ω0τ+ω1τ+ω2τ+…بنابراین تقریب مرتبهی اول فرکانس غیرخطی و جابجایی عرضی از رابطهی زیر محاسبهمیشود:
(2-87) ωnonlinear=α1+34α2wmax2+3α22wmax4324α1+3α2wmax2(2-88) ζ1τ=wmax+132α2ω2wmax3cosτ-cos3τروش حل ماکزیمم - مینیممروش حل دوم برای حل غیرخطی معادلهی حاکم میکرولوله حاوی جریان، روش ماکزیمم - مینیمم است. این روش بر اساس مسائل ریاضی باستانی چینی پایهگذاری شده است که توسط جی هوان هی ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>He</Author><Year>2008</Year><RecNum>58</RecNum><DisplayText>[40]</DisplayText><record><rec-number>58</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">58</key></foreign-keys><ref-type name="Journal Article">17</ref-type><contributors><authors><author>He, Ji-Huan</author></authors></contributors><titles><title>Max-min approach to nonlinear oscillators</title><secondary-title>International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation, 9 (2), 207-210, 2008</secondary-title></titles><periodical><full-title>International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation, 9 (2), 207-210, 2008</full-title></periodical><dates><year>2008</year></dates><urls></urls></record></Cite></EndNote>[40] ارائه شد. این روش از یک نامساوی به نام هی چنگ شن استفاده میکند. در این نامساوی اگر داشته باشیم:
(2-89) ab<x<dcکه در آن a, b, c,d اعداد حقیقی هستند. آنگاه:
(2-90) ab<ma+ndmb+nc<dcو x تقریباً برابر است با:
(2-91) x=ma+ndmb+ncکه در آن m و n ضرائب وزنی هستند.
معادله 2-58 را که به فرم یک معادلهی دافین است در نظر بگیرید:
(2-92) ∂2ζ∂φ2+α1 ζ+α2ζ3=0که در آن 0≤α2<∞. معادلهی (2-92) را میتوان به این صورت بازنویسی کرد:
(2-93) ∂2ζ∂φ2+(α1 +α2ζ2)ζ=0ζ0=wmax , d ζ0dτ=0تابع حل آزمایشی را با توجه به شرایط مرزی به شکل زیر انتخاب می کنیم:
(2-94) ζ=wmaxcosωφبا قرار دادن رابطهی (2-94) در رابطهی )2-93) میتوان نامساوی زیر را نتیجه گرفت:
(2-95) α11<ω2<α1+α2wmax21با توجه به میان یابی هی چنگ شن خواهیم داشت:
(2-96) ω2=mα1+n(α1+α2wmax2)m+n=α1+kα2wmax2که در آن k=nm+n است.
بنابراین فرکانس طبیعی تقریباً برابر است با:
(2-97) ω=α1+kα2wmax2بنابراین حل احتمالی به شکل زیر خواهد بود:
(2-98) ζ=wmaxcosα1+kα2wmax212 φرابطهی 2-92 را میتوان با توجه به رابطهی 2-98 بازنویسی کرد:
(2-99) ∂2ζ∂φ2+α1 +kα2wmax2ζ=kα2wmax2ζ-α2ζ3اگر فرض کنیم رابطهی (2-98) حل دقیق معادله باشد، بنابراین بخش سمت راست معادلهی (2-99) باید صفر شود. اگر فرض ما درست باشد، قسمت سمت راست خود به خود صفر میشود در غیر این صورت از انتگرال زیر برای به دست آوردن جواب استفاده میکنیم:
(2-100) 0T4kα2wmax2ζ-α2ζ3cosωφdφ=0که در آن T=2πω است. با حل رابطهی انتگرالی (2-100) ضریب k=34 به دست میآید. با جایگذاری k در رابطهی (2-97)، فرکانس طبیعی غیرخطی حاصل میشود:
(2-101) ω=α1+34α2wmax2همچنین نسبت فرکانس غیرخطی برابر است با:
(2-102) Ω=ωnonlinearωlinear=1+34α2α1wmax2تحلیل رفتار پس از کمانشبرای تحلیل رفتار پس از کمانش میکرولولههای حاوی جریان میتوان از روش انرژی و اصل همیلتون بهره برد. برای این امر، ابتدا باید انرژیهای سیستم که شامل انرژی کرنشی و انرژی جنبشی است، محاسبه گردد. پس از آن به کمک اصل همیلتون و صفر در نظر گرفتن تغییرات انرژی کل سیستم، معادلات حاکم بر میکرولوله به دست میآید. لازم به ذکر است که در مسائل پایداری تحلیل ما یک تحلیل استاتیک است، بنابراین از مؤلفههای دینامیک انرژی جنبشی صرفنظر میشود.
انرژی کرنشی ناشی از تغییر شکل بر اساس تئوری گرادیان کرنش برابر است با:
(2-103) U=12Ωσijεij+piγi+τijk(1)ηijk(1)+mijχijdvتنها مؤلفهی انرژی جنبشی که ماهیت استاتیک برای میکرولوله دارد، انرژی جنبشی مربوط به ورود سیال است:
(2-104) T=mf20LV∂w∂x2+V2 dxکه در آن mf، جرم سیال بر واحد طول میکرولوله و V سرعت متوسط سیال در حال گذر درون میکرولوله است.
میتوان اثر تغییر دما را به صورت یک نیروی خارجی به فرم زیر نشان داد:

(2-105) Wext=EA2(1-2ν)αth∆T0L(∂w∂x)2 dxدر این رابطه، E مدول الاستیسیته، υ ضریب پواسون، αth ضریب انبساط طولی و ∆T تغییر دمای میکرولوله است.
انرژی کل سیستم برابر است با:
(2-106) Σ=T+Wext-Uبنابر اصل همیلتون تغییرات انرژی کل سیستم بسته صفر است بنابراین خواهیم داشت:
(2-107) δt1t2T+Wext-U dt=0با جایگذاری روابط (2-103)، (2-104) و (2-105) در رابطهی (2-107) و استفاده از حساب تغییرات و انتگرالگیری جزء به جزء خواهیم داشت:
(2-108) ∂∂xN0+EA∂u∂x+12∂w∂x2-GA2l02+45l12∂2∂x2∂u∂x+12∂w∂x2=0(2-109) -∂∂xN0+EA∂u∂x+12∂w∂x2-GA2l02+45l12∂2∂x2∂u∂x+12∂w∂x2∂w∂x+S∂4w∂x4-K∂6w∂x6+mfV2∂2w∂x2+2mfV∂2w∂x∂t+mp+mf∂2w∂t2=0همراه با شرایط مرزی:
(2-110) N0+EA∂u∂x+12∂w∂x2-GA2l02+45l12∂2∂x2∂u∂x+12∂w∂x2x=0,L=0 or δux=0,L=0(2-111) GA2l02+45l12∂∂x∂u∂x+12∂w∂x2x=0,L=0 or ∂u∂x+12∂w∂x2x=0,L=0(2-112) N0+EA∂u∂x+12∂w∂x2-GA2l02+45l12∂2∂x2∂u∂x+12∂w∂x2∂w∂x-S∂3w∂x3+K∂5w∂x5-mfV∂w∂t-mfV2∂w∂xx=0,L=0 or δwx=0,L=0(2-113) S∂2w∂x2-K∂4w∂x4x=0,L=0 or δ∂w∂xx=0,L=0(2-114) K∂3w∂x3x=0,L=0 or δ∂2w∂x2x=0,L=0با ادغام معادلات (2-108) و (2-109) و در نظر گرفتن انبساط صفحه میانی، معادلهی حاکم غیرکلاسیک میکرولوله در حالت استاتیک حاصل می شود:
(2-115) S∂4w∂x4-K∂6w∂x6-N∂2w∂x2+mfV2∂2w∂x2=0که در آن
(2-116) N=N0+Nth+EA2L0L∂w∂x2dxبا استفاده از پارامترهای بیبعد ارائه شده در رابطهی (2-54)، فرم بیبعد معادلهی (2-115) به این شکل نوشته میشود:
(2-117) 1+λ∂4η∂ξ4-κ∂6η∂ξ6-χ∂2η∂ξ201∂η∂ξ2dξ-Nth∂2η∂ξ2+μ2∂2η∂ξ2=0معادلهی (2-117) یک معادلهی دیفرانسیلی-انتگرالی غیرخطی است. برای حل این معادله، جابجایی عرضی میکرولوله با توجه به مود اول کمانش به این صورت حدس زده میشود:
(2-118) ηξ=ζsinπξدر رابطهی (2-118)، sinπξ مود اول کمانش میکرولوله است که شرایط مرزی دو سر تکیهگاه ساده را ارضاء میکند و ζ جابجایی میکرولوله پس از کمانش است. با جایگذاری رابطهی (2-118) در رابطهی (2-117) خواهیم داشت:
(2-119) α1 ζ+α2ζ3=0که در آن:
(2-120) α1=1+λπ4+κπ6+Nthπ2-μ2π2(2-121) α2=χ2π4با سادهسازی رابطهی (2-119) عبارتی برای جابجایی عرضی میکرولوله پس از کمانش به دست میآید:
(2-122) ζ=-α1α2=μ2-1+λπ2-κπ4-Nthχ2π2با استفاده از رابطهی (2-122) و صفر در نظر گرفتن جابجایی عرضی پیش از کمانش، رابطهای صریح برای سرعت بحرانی میکروله حاصل میشود:
(2-123) μcr=1+λπ2+κπ4+Nth
اعتبارسازی و نتایج
مقدمه در این فصل ابتدا، برای ارزیابی تحقیق نتایج حاصل از تحلیل ارتعاشات آزاد خطی میکرولوله حاوی جریان توسط روش تحلیل هموتوپی خطی به همراه نتایج به دست آمده از روش دیفرانسیل کوادراچر در مرجع ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>Yin</Author><Year>2011</Year><RecNum>21</RecNum><DisplayText>[32]</DisplayText><record><rec-number>21</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">21</key></foreign-keys><ref-type name="Journal Article">17</ref-type><contributors><authors><author>Yin, L</author><author>Qian, Q</author><author>Wang, L</author></authors></contributors><titles><title>Strain g--ient beam model for dynamics of microscale pipes conveying fluid</title><secondary-title>Applied Mathematical Modelling</secondary-title></titles><periodical><full-title>Applied Mathematical Modelling</full-title></periodical><pages>2864-2873</pages><volume>35</volume><number>6</number><dates><year>2011</year></dates><isbn>0307-904X</isbn><urls></urls></record></Cite></EndNote>[32] مورد مقایسه قرار میگیرد. پس از آن، نتایج حاصل از روش تحلیل هموتوپی به همراه روش ماکسیموم-مینیمم مطالعه خواهد شد و دقت روش تحلیل هموتوپی مورد بررسی قرار خواهد گرفت. در مرحله بعد میکرولولهی حاوی جریان توسط سه تئوری گرادیان کرنش، تنش کوپل و مکانیک کلاسیک بررسی و مقایسه خواهد شد و اثرات اندازه و تغییر دمای میکرولوله بر ارتعاش غیرخطی آنها مطالعه میشود. پس از آن، رفتار پس از کمانش میکرولولهها و تأثیر اندازه و اختلاف دما بر آن مورد بحث و بررسی قرار خواهد گرفت.
اعتبار سنجیبه دلیل عدم وجود تحقیق مشابه غیرخطی و تحلیل دمایی بر اساس تئوری گرادیان کرنش برای میکرولولههای حاوی جریان، در این قسمت از حل خطی با صرف نظر از ثابت انبساط حرارتی برای اعتبار سنجی نتایج استفاده میشود. برای انجام این امر میتوان نتایج را با مرجع ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>Yin</Author><Year>2011</Year><RecNum>21</RecNum><DisplayText>[32]</DisplayText><record><rec-number>21</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">21</key></foreign-keys><ref-type name="Journal Article">17</ref-type><contributors><authors><author>Yin, L</author><author>Qian, Q</author><author>Wang, L</author></authors></contributors><titles><title>Strain g--ient beam model for dynamics of microscale pipes conveying fluid</title><secondary-title>Applied Mathematical Modelling</secondary-title></titles><periodical><full-title>Applied Mathematical Modelling</full-title></periodical><pages>2864-2873</pages><volume>35</volume><number>6</number><dates><year>2011</year></dates><isbn>0307-904X</isbn><urls></urls></record></Cite></EndNote>[32] مقایسه نمود. میکرولولهای که برای این ارزیابی در نظر گرفته شده است از جنس اپوکسی پلیمر با خواص مکانیکی زیر است:
ν=0.38, E=1.44 GPa, ρp=1000kgm3که در آن ρp چگالی ، E مدول الاستیسیته و ν ضریب پواسون میکرولوله است. همچنین چگالی سیال گذرنده از داخل میکرولوله برابر با ρf=1000kgm3 در نظر گرفته شده است.
پارامتر طولی تیرهای از جنس اپوکسی پلیمر از آزمایشات تجربی توسط لم و همکارانش l=17.6μm با فرض l0=l1=l2=l به دست آمده است ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>Lam</Author><Year>2003</Year><RecNum>11</RecNum><DisplayText>[4]</DisplayText><record><rec-number>11</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">11</key></foreign-keys><ref-type name="Journal Article">17</ref-type><contributors><authors><author>Lam, DCC</author><author>Yang, F</author><author>Chong, ACM</author><author>Wang, J</author><author>Tong, P</author></authors></contributors><titles><title>Experiments and theory in strain g--ient elasticity</title><secondary-title>Journal of the Mechanics and Physics of Solids</secondary-title></titles><periodical><full-title>Journal of the Mechanics and Physics of Solids</full-title></periodical><pages>1477-1508</pages><volume>51</volume><number>8</number><dates><year>2003</year></dates><isbn>0022-5096</isbn><urls></urls></record></Cite></EndNote>[4]. در اینجا شکل هندسی این میکرولوله با پارامترهای هندسی LD=20 وα=dD=.8 معرفی میشود.

فرکانس طبیعی خطی میکرولولهی حاوی جریان بر حسب سرعت جریاندر شکل 3-1 فرکانس طبیعی خطی با استفاده از روش گرادیان کرنش بر حسب سرعت سیال گذرنده از داخل میکرولوله برای قطر خارجی D=50 μm با دو روش حل هموتوپی خطی و دیفرانسیل کوادراچر رسم شده است.
همانطور که در این شکل مشاهده میکنید، فرکانس پایهی به دست آمده در این تحقیق تطابق بسیار خوبی را با نتایج به دست آمده از روش عددی دیفرانسیل کوادراچر در مرجع ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>Yin</Author><Year>2011</Year><RecNum>21</RecNum><DisplayText>[32]</DisplayText><record><rec-number>21</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="xfx59raae2pzrpeaex9pazxs9sv52szswfzf">21</key></foreign-keys><ref-type name="Journal Article">17</ref-type><contributors><authors><author>Yin, L</author><author>Qian, Q</author><author>Wang, L</author></authors></contributors><titles><title>Strain g--ient beam model for dynamics of microscale pipes conveying fluid</title><secondary-title>Applied Mathematical Modelling</secondary-title></titles><periodical><full-title>Applied Mathematical Modelling</full-title></periodical><pages>2864-2873</pages><volume>35</volume><number>6</number><dates><year>2011</year></dates><isbn>0307-904X</isbn><urls></urls></record></Cite></EndNote>[32] نشان میدهد.
در ادامهی این بخش نتایج مربوط به حل ارتعاشاتی میکرولولههای حاوی جریان توسط روش تحلیل هموتوپی و روش ماکزیمم - مینیمم ارائه میشود. جدول 3-1 نسبت فرکانس طبیعی غیرخطی به خطی بیبعد شده، حاصل از حل با دو روش تحلیل هموتوپی مرتبهی صفر و روش ماکزیمم - مینیمم در wmaxها و نسبت α2α1 های مختلف را نمایش میدهد.
مقایسهی دو روش تحلیل هموتوپی و ماکزیمم - مینیمم برای حل معادلات غیرخطی میکرولولههای حاوی جریانwmaxα2α1HAM Max-Min
.5 10 1.69 1.69
.75 10 2.28 2.28
1 10 2.91 2.91
.5 4 1.32 1.32
.5 8 1.58 1.58
.5 12 1.80 1.80
همانطور که از سه ردیف اول جدول 3-1 مشخص است، با افزایش ماکزیمم دامنهی ارتعاشی نسبت فرکانس غیرخطی به خطی افزایش مییابد و میکرولوله رفتار غیرخطی بیشتری را از خود نشان میدهد.

دسته‌بندی نشده

No description. Please update your profile.

LEAVE COMMENT

نظرات (0)
برای نمایش آواتار خود در این وبلاگ در سایت Gravatar.com ثبت نام کنید. (راهنما)

نام :
ایمیل :
وب/وبلاگ :
ایمیل شما بعد از ثبت نمایش داده نخواهد شد